Enunciado

Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral iterada dada.

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ∫ 0 y f x , y , z   d z d y d x

Passo 1

Pelos limites da integral tripla, nós temos as seguintes variações

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ x 2

0 ≤ z ≤ y

Então temos que a região é limitada por z = 0 , z = y , y = x 2 e x = 1 .

Se mantermos a variável mais interna como z podemos inverter x com y , isolando x na equação y = x 2

x = ± y

Como x ≥ 0

x = y

E x ≤ 1 então a variação vai de

y ≤ x ≤ 1

E 0 ≤ y ≤ 1 , temos a integral

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ∫ 0 y f x , y , z   d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 y f x , y , z   d z d x d y

Passo 2

Se colocarmos x como diferencial mais interno temos a mesma variação y ≤ x ≤ 1 e então o valor máximo de y quando ocorre a intersecção é y = 1 e temos o triangulo entre z = 0 , z = y e y = 1 para as variações.

Temos duas possibilidades

= ∫ 0 1 ∫ 0 y ∫ y 1 f x , y , z   d x d z d y = ∫ 0 1 ∫ z 1 ∫ y 1 f x , y , z   d x d y d z

Passo 3

E se y for o diferencial mais interno temos z ≤ y ≤ x 2 , na intersecção z = x 2 e ainda temos os planos z = 0 e x = 1 , então podemos escrever das formas

= ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ∫ z x 2 f x , y , z   d y d z d x = ∫ 0 1 ∫ z 1 ∫ z x 2 f x , y , z   d y d x d z

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ∫ 0 y f x , y , z   d z d y d x = ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 y f x , y , z   d z d x d y

= ∫ 0 1 ∫ 0 y ∫ y 1 f x , y , z   d x d z d y = ∫ 0 1 ∫ z 1 ∫ y 1 f x , y , z   d x d y d z

= ∫ 0 1 ∫ 0 x 2 ∫ z x 2 f x , y , z   d y d z d x = ∫ 0 1 ∫ z 1 ∫ z x 2 f x , y , z   d y d x d z

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Escreva cinco outras integrais iteradas que sejam iguais à integral dada. ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 z f x , y , zd zd yd x
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