Determine (x, y) com x^2 + y^2 <= 1 , que maximiza 2x + y

Passo 1

Perceba que queremos maximizar a função f x , y = 2 x + y   .

Utilizando que x 2 + y 2 = 1           implica que y = 1 - x 2 Analisaremos o máximo da função de uma variável

g x =   2 x +     1 - x 2  

Daí, derivando

g ' x = 2 + 1 4 1 - x 2     ⋅ 2 x = 4   1 - x 2 - x 2 1 - x 2  

Vamos analisar os pontos críticos, ou seja, g ' x = 0  

4   1 - x 2 - x 2 1 - x 2   = 0

Precisamos que

4   1 - x 2 - x = 0  

Ou seja,

x = 4   1 - x 2

Elevando ao quadrado,

x 2 = 16 - 16 x 2

17 x 2 = 16  

x = 4 17 = 4 17 17

Substituindo,

y = 1 2 17 = 17 34

Como para valores dentro do intervalo ( - ∞ , 4 17 17 )   , f ' ( x ) assume valores positivos (crescente). E para valores dentro do intervalo ( 4 17 17 , ∞ )         , f ' ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente) temos que x = 4 17 17 é um ponto de máximo no intervalo para f .

Resposta

que x = 4 17 17 é um ponto de máximo para f .

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