Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.7 - Ex. 37
30. Determine a menor distância entre o ponto e o plano .
Passo 1
A ideia nessa questão vai ser achar a distância entre o ponto dado e um ponto qualquer. Em seguida, vamos impor a restrição que esse ponto qualquer está no plano. E pra finalizar, vamos minimizar essa distância. Vem comigo!
Passo 2
Como o ponto está no plano:
Substituindo isso em :
Como queremos minimizar , basta minimizarmos o que está dentro da raiz. Assim,
Pra minimizarmos, vamos achar as derivadas parciais e igualar a zero. Olha só:
Em relação a :
Igualando a zero:
Em relação a :
Igualando a zero:
Então temos o seguinte:
Resolvendo o sistema, temos:
e
Logo, o único ponto crítico é
Passo 3
Agora precisamos fazer o teste da segunda derivada. Para isso, vamos achar , e .
Logo,
E para o :
Agora vamos achar o
Assim,
Usando o teste da segunda derivada:
Portanto,
Como , logo é um ponto de mínimo. Agora é só achar a distância, como e :
Então a distância fica:
Por fim,
Resposta
A menor distância é