Enunciado

30. Determine a menor distância entre o ponto ( 2,1 , - 1 ) e o plano x + y - z = 1 .

Passo 1

A ideia nessa questão vai ser achar a distância entre o ponto dado e um ponto qualquer. Em seguida, vamos impor a restrição que esse ponto qualquer está no plano. E pra finalizar, vamos minimizar essa distância. Vem comigo!

d x , y , z =   x - 2 2 + y - 1 2 + z + 1 2

Passo 2

Como o ponto ( x , y , z ) está no plano:

x + y - z = 1 → z + 1 = x + y

Substituindo isso em d :

d x , y = x - 2 2 + y - 1 2 + x + y 2

Como queremos minimizar d , basta minimizarmos o que está dentro da raiz. Assim,

f x , y = x - 2 2 + y - 1 2 + x + y 2

Pra minimizarmos, vamos achar as derivadas parciais e igualar a zero. Olha só:

Em relação a x :

f x = 2 x - 2 + 2 x + y → f x = 4 x - 4 + 2 y

Igualando a zero:

4 x - 4 + 2 y = 0

Em relação a y :

f y = 2 y - 1 + 2 x + y → f y = 4 y + 2 x - 2

Igualando a zero:

4 y + 2 x - 2 = 0

Então temos o seguinte:

4 x + 2 y = 4 4 y + 2 x = 2

Resolvendo o sistema, temos:

x = 1 e y = 0

Logo, o único ponto crítico é ( 1,0 ) .

Passo 3

Agora precisamos fazer o teste da segunda derivada. Para isso, vamos achar f x x , f y y e f x y .

f x = 4 x - 4 + 2 y

Logo,

f x x = 4

E para o f x y :

f x y = 2

Agora vamos achar o f y y :

f y = 4 y + 2 x - 2

Assim,

f y y = 4

Usando o teste da segunda derivada:

D x , y = f x x ⋅ f y y - f x y x , y 2

Portanto,

D = 4 ⋅ 4 - 2 ² = 12 > 0

Como f x x > 0 , logo ( 1,0 ) é um ponto de mínimo. Agora é só achar a distância, como x = 1 e y = 0 :

x + y - z = 1 → z = 0

Então a distância fica:

d 1,0 , 0 =   1 - 2 2 + 0 - 1 2 + 0 + 1 2

Por fim,

d = 3

Resposta

A menor distância é 3 .

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