Enunciado

Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

F x , y = y - ln ⁡ x 2 + y 2 , 2 tg - 1 ⁡ ( y / x )

C é a circunferência ( x - 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 1 , orientada no sentido anti-horário

Passo 1

Uma curva tem orientação positiva se for orientada no sentido anti-horário então para a curva do enunciado, podemos aplicar o teorema então

∫ C F ⋅ d r = ∬ D ∂ ∂ x 2 tg - 1 ⁡ ( y / x ) - ∂ ∂ y y - ln ⁡ x 2 + y 2 d A

= ∬ D 2 1 + y x 2 - y x 2 - 1 + 1 x 2 + y 2 2 y   d A

= ∬ D - 2 y x 2 + y 2 - 1 + 2 y x 2 + y 2   d A = - ∬ D d A

∫ C F ⋅ d r = - A ( D )

Como D é uma circunferência de raio 1 , independente de ela estar deslocada A D = π 1 2

∫ C F ⋅ d r = - π

Resposta

∫ C F ⋅ d r = - π

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