Enunciado

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

f x , y = y ( e x - 1 )

Passo 1

Faala ae, beleza?

A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!

Nesse problema, nossa função é

f x , y = y ( e x - 1 )

Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:

f x = y e x

f y = e x - 1

Os pontos críticos são obtidos fazendo f x = f y = 0 . Assim,

y e x = 0 e x - 1 = 0

Da segunda equação tiramos

e x = 1 ⇒ x = 0

Da primeira, como e x ≠ 0 , devemos ter y = 0 . Portanto, o único ponto crítico é:

0 ,   0

Passo 2

Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:

f x x = y e x

f y y = 0

f x y = f y x = e x

Assim, o determinante hessiano será

D = f x x f x y f y x f y y = y e x e x e x 0

Logo,

D = - e 2 x

Repare que D é sempre negativo, então nós temos um ponto de sela em ( 0,0 ) !

Resposta

0 ,   0     →   p o n t o   d e   s e l a

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