Enunciado

Determine os númerso nos quais a função dada é contínua

f x = 1 x + 1   s e   x < 4 x - 4   s e   4 ≤ x

Passo 1

O enunciado pede que determinemos quais valores onde essa função é contínua. Para isso, precisamos então definir os números onde ela é descontínua! Afinal, existem muito mais pontos onde a função é contínua do que descontínua.

Para isso, como nossa função é definida por partes, temos que analisar as funções nos seus intervalos e o ponto que conecta as duas funções! Nesse caso, o ponto x = 4 .

Passo 2

Vamos fazer primeiro pra nossa função f x = 1 x + 1   ,     s e   x < 4 .

Essa função tem um problema no ponto x = - 1 , pois é a única raíz da equação x + 1 = 0 . Logo, ficaria 1 0 e sabemos que isso não existe. Assim, lembrando que pra ser contínua o valor da f ( x ) tem que existir, necessariamente essa função é descontínua em - 1 .

Como não há outra solução para x + 1 = 0 , não há outro ponto que dê problema no intervalo x < 4 .

Passo 3

Agora temos que verificar a função f x = x - 4 ,     s e   4 ≤ x .

Para raízes quadradas, nossa restrição seria os valores onde teríamos que extrair raízes de números negativos. Como x ≥ 4 , então x - 4 ≥ 0 sempre!

Logo, não há pontos com problemas nesse intervalo!

Passo 4

Agora temos que analisar os limites laterais e o valor da f ( 4 ) , pois esse é o valor que conecta as funções.

Fazendo o limite lateral pela esquerda, obtemos que lim x → 4 - ⁡ 1 x + 1   = 1 5

Fazendo o limite lateral pela direita, obtemos que lim x → 4 + ⁡ x - 4 = 0

Como esses valores são diferentes, nem precisamos calcular f ( 4 ) , pois isso é suficiente para determinar que a função é descontínua em x = 4 .

Resposta

R - { - 1,4 }

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Se f é contínua em ( - ∞ , ∞ ) , o que você pode dizer sobre seu gráfico?
Esboce o gráfico de uma função que tenha uma descontinuidade de salto em x = 2 e uma descontinuidade removível em x = 4 , mas seja contínua no restante.
41-42 (a) Complete a tabela e dê uma estimativa para o limite indicado. (b) Encontre o valor exato do limite.42- f x = s e n x 2 + 3 x + 2 x + 2 ; lim x → - 2 ⁡ f ( x )
47- Numa tentativa de verificar que lim x → 0 ⁡ s e nx x = 1 , um estudante constrói a tabela abaixo.a)Quais erros o estudante cometeu ?b)Qual o valor do limite ilustrado nessa tabela ?
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . g x = x + 1 2 x 2 - 1 , e ma = 4 .