Enunciado

Considere um fabricante de latas quadradas que vai utilizar pedaços de folhas-de-flandres de kcm de lado, cortando-se quadrados de lado x cm das pontas e dobrando.

a): Se xcm for o comprimento dos lados dos quadrados a serem cortados, expresse o volume em centímetros cúbicos como uma função de x.

b): Qual o domínio da função ?

c): Prove que a função é contínua em todo seu domínio.

Passo 1

Letra a):

Antes de tudo, temos que entender o procedimento de corte e confecção da caixa. Repare esta imagem:

Ela ilustra uma folha, na qual foram cortados quadrados de mesmo comprimento e dobrou-se a folha de forma a obter uma caixa.

Assim, sendo Kcm uma constante real positiva fixada (ou seja, não vai variar que nem a incógnita x) o tamanho da folha e sendo X cm o valor do lado do quadrado, perceba que a altura da caixa é exatamente o lado do quadrado e a base é formada por (comprimento – 2x) e (largura – 2x).

Portanto, nosso volume será dado por V x = x ( K - 2 x ) ( K - 2 x )

Passo 2

Letra b):

Repare que, da natureza do problema, o lado do quadrado não pode ser negativo e muito menos ultrapassar da metade de K (tendo em vista que são 2 quadrados cortados pra cada lado).

Assim, nosso domínio será: D = [ 0 , K 2 ]

Passo 3

Letra c):

Como nossa função V é produto de 3 polinômios de grau 1, é uma função polinomial, que sempre é contínua em todo o domínio.

Resposta

V x = x K - 2 x K - 2 x

D = [ 0 , K 2 ]

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