Enunciado

Faça um esboço do gráfico da função f que satisfaça as condições dadas:

f   é   c o n t í n u a   e m   ( - ∞ , - 2 ) ; [ - 2,4 ]   e   ( 4 , + ∞ )

lim x → - 5 ⁡ f x = 0   ; lim x → - 2 - ⁡ f ( x ) = - ∞   ; l i m x → - 2 + f x = - 3   ; l i m x → 0 f x = - 1   ;  

lim x → 4 - ⁡ f x = 2 ;   lim x → 4 + ⁡ f x = 5   ;   lim x → 6 ⁡ f x = 0

Passo 1

Para esboçar esse gráfico, tenha em mente que a resposta pode ser bem subjetiva. Existem várias e várias funções que satisfazem a essas condições dadas, mas vamos esboçar aqui uma função que seja simples, ok?

O primeiro passo é ver que, como a função é contínua em ( - ∞ , - 2 ) , o limite dessa função para qualquer valor nesse intervalo é exatamente o valor da função nesse ponto.

Assim, sabemos que f - 5 = 0 e próximo de 2 tende ao infinito negativo.

Passo 2

Agora, sabemos que a função é contínua no intervalo [ - 2,4 ] e, da mesma forma, qualquer limite pra valores dentro desse intervalo são exatamente a f no ponto.

Logo, f - 2 = - 3   ; f 0 = - 1   ; f 4 = 2 , pois f é contínua pela esquerda de 4.

Passo 3

Por fim, sabemos que a função é contínua no intervalo ( 4 , + ∞ ) e, da mesma forma, o valor do limite pra qualquer número que esteja nesse intervalo é exatamente a f no ponto. Assim, f 6 = 0   e próximo de 4 pela direita a função tende a 5, por conta do limite.

Passo 4

Note que se a função vai sempre decrescer depois do 5, ou se faz ondulações, ou se sempre cresce depois de um determinado número é uma subjetividade inerente desse tipo de questão e todas as alternativas que façam as ressalvas dos limites e da continuidade estão certas e são válidas.

Resposta

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