Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles.

2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que o produto escalar entre dois vetores é zero quando eles são perpendiculares entre si?

v → 1 ⋅ v → 2 = 0 (teste 1 )

E que o produto vetorial entre dois vetores é zero quando esses vetores são paralelos?

v → 1 × v → 2 = 0 (teste   2 )

Pois é! São esses dois testes que podemos fazer para saber se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.

Daí você se pergunta, mas como? Eu respondo: pelos vetores diretores dos planos! Se esses vetores forem paralelos, os planos também vão ser. O mesmo vale para a condição de perpendicularidade.

Tá, e quando os dois testes falharem? Bom, daí a gente recorre para a fórmula extensa do produto escalar:

cos ⁡ θ = v → 1   ⋅ v → 2 | v → 1 | | | v → 2 | |

Mas só se os dois primeiros forem inconclusivos, ta?

Mas calma! Vamos calcular cada coisa de cada vez!

Vamos começar?

Passo 2

Vou começar por denominar os planos e seus respectivos vetores diretores:

π 1 : 2 x - 3 y + 4 z = 5 , e seu vetor: v → 1 =   ( 2 , - 3,4 )

π 2 : x + 6 y + 4 z = 3 , e seu vetor: v → 2 =   ( 1 , 6,4 )

  • Teste 1 :

v → 1 ⋅ v → 2 = 2 , - 3,4 ⋅ 1,6 , 4 = 2 - 18 + 16 = 0

O primeiro teste já deu certo! Então se o produto vetorial é zero, isso significa que os vetores são perpendiculares entre si, assim como os respectivos planos.

Nem precisamos verificar os outros!

Vamos pra próxima?

Resposta

p e r p e n d i c u l a r e s

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva o enunciado aqui.
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 =
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = 5 , y =
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos do
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos do
a Determine as equações simétricas da reta de intersecção dos planos
Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto 1,2 , - 1 e
Sejam dados u → = u 1 , u 2 , u 3 e v → = v 1 , v 2 , v 3 com u → ⋀ v
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos do
Escreva o enunciado aqui.
Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboç
Escreva o enunciado aqui.