Enunciado

Use os gráficos de

x = f ( t )

y = g ( t )

Para esboçar a curva paramétrica

x = f ( t )

y = g ( t )

Indique com setas a direção na qual a curva é traçada à medida que t aumenta.

Passo 1

Olhando para os gráficos de x e y , dá pra ver de cara que quando   t = 0 , temos o ponto

x , y = ( 0,0 )

Quando t = 1 2 temos o ponto

x , y = ( 0,1 )

Quando t = 1 , temos o ponto

x , y = ( 0,0 )

Então, podemos perceber que nosso gráfico começa da origem, depois ele vai pro ponto ( 0,1 ) , que é o ponto mais alto da curva, e depois ele volta pra origem. Só que nesse meio tempo aí rola uns paranauê meio doido, porque repara só: quando o t vai do 0 para 1 2 , o y simplesmente cresce de 0 para 1 , mas o x faz várias paradas. Ele cresce de zero pra um, depois decresce de zero pra - 1 , depois cresce de novo pra zero, pra só aí parar e chegar no ponto ( 0,1 ) .

Aí quando o t vai de 1 2 para 1 rola uma parada dessas de novo pra só então tudo voltar pro ponto ( 0,0 ) .

Então quer dizer, parece que tem uma parada cíclica aí na nossa curva né.

Passo 2

Vamos agora tentar ver uns outros valores para t e com isso achar mais ou menos uns outros pontos ( x , y ) , plotar esses pontos e aí sim ver a cara que nossa curva toma.

Olhando de novo nossos gráficos:

Se pegarmos t = 1 8 , temos mais ou menos o ponto

x , y = ( 1 ; 0 , 1 )

Agora t = 3 8 :

x , y = ( - 1 ; 0 , 8 )

Vamos pegar agora t = 3 4 :

x , y = ( 0 ; 0,7 )

Acho que já tá bom né?

Vamos plotar esses pontos. Vou numerar também a ordem em que a curva tem que passar em cada ponto de acordo com o valor de t . Depois a gente liga tudo.

Agora se a gente ligar todos eles, teremos uma curva mais ou menos assim:

Resposta

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Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz x = - d tem a equação polar r = e d 1 - e cos ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Esboce a curva com a equação dada.theta = - (pi)/(6)
Esboce a curva com a equação dada.r = ln theta , theta = 1