Enunciado

Determine o ponto do plano 3 x + 2 y + z = 12 cuja soma dos quadrados das distâncias a 0,0 , 0 e ( 1,1 , 1 ) seja mínima.

Passo 1

Queremos achar o ponto do plano 3 x + 2 y + z = 12 tal que a soma dos quadrados das distâncias até os pontos ( 0,0 , 0 ) e ( 1,1 , 1 ) seja a menor possível. Para isso, se o ponto está no plano, ele satisfaz

z = 12 - 3 x - 2 y

Portanto,

( x ,   y ,   12 - 3 x - 2 y )

A distância ao quadrado desse ponto ao ponto ( 0,0 , 0 ) é

d 2 = x 2 + y 2 + 12 - 3 x - 2 y 2 = 10 x 2 + 5 y 2 + 12 x y - 72 x - 48 y + 144

Já a distância até ( 1,1 , 1 ) será

d 2 = x - 1 2 + y - 1 2 + 11 - 3 x - 2 y 2 = 10 x 2 + 5 y 2 + 12 x y - 68 x - 46 y + 123

Somando esses dois termos:

f x , y = 20 x 2 + 10 y 2 + 24 x y - 140 x - 94 y + 267

Essa é a função que temos que minimizar.

Passo 2

Derivando:

∂ f ∂ x = 40 x + 24 y - 140 = 0

∂ f ∂ y = 20 y + 24 x - 94 = 0

Assim,

10 x + 6 y = 35 12 x + 10 y = 47

Portanto,

x = 35 6 47 10 10 6 12 10           e           y = 10 35 12 47 10 6 12 10

Assim, obtemos

x = 34 14 = 17 7           e           y = 25 14

Este é o único ponto crítico de f . Como f é uma forma quadrática, se esse ponto for mínimo local, ele será também mínimo global.

Passo 3

Tomando as segundas derivadas:

∂ 2 f ∂ x 2 = 40 > 0

∂ 2 f ∂ y 2 = 20

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 24

Assim, o hessiano será

H = 40 24 24 20 = 800 - 576 = 224 > 0

Assim, como H > 0 e ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 , 17 7 , 25 14 é ponto de mínimo local. Como f é uma forma quadrática, este ponto também é mínimo global (ver exercício 2).

Por fim, como z = 12 - 3 x - 2 y :

z = 12 - 51 7 - 25 7 = 8 7

Logo, o ponto pedido é

17 7 , 25 14 , 8 7

Resposta

17 7 , 25 14 , 8 7

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Mostre que f x ,y = x 2 y e - x 2 - y 2 tem valores máximos em ± 1 , 1 2 e valores mínimos em ± 1 ,- 1 2 . Mostre também que f tem infinitos outros pontos críticos e que D = 0 em cada um deles. Quais