Enunciado

a) Ache uma função u ( x , y ) da forma u x , y = F x 2 + y 2 que satisfaça a equação de Laplace

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

b) Faça a mesma coisa para funções de três ou mais variáveis.

Passo 1

Bom, queremos achar uma função u x , y = F x 2 + y 2 que satisfaça a equação de Laplace:

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Para isso, vamos escrever r = x 2 + y 2 e encontrar uma equação para F ( r ) equivalente a equação acima. Para isso, temos que escrever as derivadas parciais de u como derivadas de F .

Note que, pela regra da cadeia:

∂ u ∂ x = d F d r ⋅ ∂ r ∂ x = 2 x d F d r

Analogamente,

∂ u ∂ y = d F d r ⋅ ∂ r ∂ y = 2 y d F d r

Passo 2

Para a segunda derivada, temos que

∂ 2 u ∂ x 2 = 2 d F d r + 2 x d 2 F d r 2 ⋅ ∂ r ∂ x = 2 d F d r + 4 x 2 d 2 F d r 2

Analogamente, fazendo a mesma coisa para y , obtém-se

∂ 2 u ∂ y 2 = 2 d F d r + 4 y 2 d 2 F d r 2

Assim, somando essas duas derivadas e igualando a 0 :

2 d F d r + 4 x 2 d 2 F d r 2 + 2 d F d r + 4 y 2 d 2 F d r 2 = 0

Portanto,

d F d r + x 2 + y 2 d 2 F d r 2 = 0

Ou ainda,

d F d r + r d 2 F d r 2 = 0

Basta resolvermos essa equação diferencial que teremos resolvido o problema!

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos chamar

x r = d F d r ⇒ d x d r = d 2 F d r 2

Assim, a equação é reescrita como

r d x d r + x = 0 ⇒ d x d r = - x r

Essa equação é separável, de modo que

d x x = - d r r

Integrando dos dois lados:

ln ⁡ x = - ln ⁡ r + k ⇒ x = e - ln ⁡ r   + k = e k e - ln ⁡ r = e k 1 r

Assim,

x = A r

Portanto,

d F d r = A r ⇒ F = A ln ⁡ r + B

Chegamos que:

F r = A ln ⁡ r + B

Assim, a forma geral de uma solução u ( x , y ) da equação de Laplace é dada por

u x , y = A ln ⁡ x 2 + y 2 + B

Passo 4

No item (b) ele pede para generalizarmos isso para uma função de um número qualquer de variáveis:

u x 1 ,   x 2 ,   …   ,   x n = F x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2

A equação de Laplace é dada por

∑ i = 1 n ∂ 2 u ∂ x i 2 = 0

Chamando r = x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = ∑ i = 1 n x i 2 , temos que

∂ u ∂ x i = d F d r ⋅ ∂ r ∂ x i = 2 x i d F d r

Tomando a segunda derivada, obtemos

∂ 2 u ∂ x i = 2 d F d r + 4 x i 2 d 2 F d r 2

Passo 5

Assim,

∑ i = 1 n ∂ 2 u ∂ x i 2 = ∑ i = 1 n 2 d F d r + 4 x i 2 d 2 F d r 2 = 2 d F d r   ∑ i = 1 n 1 + 4 d 2 F d r 2   ∑ i = 1 n x i 2 = 0

Mas note que

∑ i = 1 n 1 = n           e           ∑ i = 1 n x i 2 = r

Assim,

2 n d F d r + 4   r d 2 F d r 2 = 0

Ou ainda

n d F d r + 2 r d 2 F d r 2 = 0

Note que para n = 2 nós obtemos a mesma equação do item (a). Fazendo

x = d F d r

Temos que

n x + 2 r d x d r = 0 ⇒ d x d r = - n x 2 r ⇒ d x x - - n 2 r

Assim,

ln ⁡ x = - n 2 ln ⁡ r + k = ln ⁡ r - n 2 + k

Logo,

x = e k   e ln ⁡ r - n 2 = e k   r - n 2

Portanto,

x = A r - n 2

Vamos supor que n > 2 pois já fizemos o caso n = 2 . Assim,

d F d r = A   r - n 2 ⇒ F = A 1 - n 2   r 1 - n 2 + B

Redefinindo as constantes:

F r = A   r 1 - n 2 + B

Assim,

u x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = A   x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 1 - n 2 + B

Resposta

u x , y = A ln ⁡ x 2 + y 2 + B

u x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n = A   x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 1 - n 2 + B ,         n > 2

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7. Seja g u , v = f 2 u + v , u - 2 v , onde f ( x , y ) é suposta de classe C 2 . Verifique que ∂ 2 g ∂ u 2 + ∂ 2 g ∂ v 2 = 5 ∂ 2 f ∂ x 2 + 5 ∂ 2 f ∂ y 2
11. Suponha que f ( x , y ) satisfaça a equação ∂ 2 f ∂ x 2 = c 2 ∂ 2 f ∂ t 2 ( c ≠ 0 constante). (i)a) Deteremine constante m , n , p e q para que g u , v = f x , t , onde x = m u + n v e t = p u - q
Seja F r ,θ ,t = f ( x ,y ,t ) onde x = r c o s θ e y = r s e n θ . Suponha que ( c ≠ 0 constante) ∂ 2 f ∂ t 2 = c 2∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 . Mostre que ∂ 2 F ∂ t 2 = c 2∂ 2 F ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 F ∂
Sejam z = z x , y , x = e u cos ⁡ ( v ) e y = e u s e n ( v ) . Suponha que ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = 0 . Calcule ∂ 2 z ∂ u + ∂ 2 z ∂ v 2
Suponha que z = z ( x , y ) satisfaça a equação x 2 ∂ 2 z x , y ∂ x 2 + 2 x y ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y - x ∂ z x , y ∂ x = x 3 y 2 . Fazendo a mudança de variáveis x = e u , y = e v . Calcule ∂ 2 z x , y ∂