Enunciado

Mostre que f x ,   y = x 2 y e - x 2 - y 2 tem valores máximos em ± 1 , 1 2 e valores mínimos em ± 1 ,   - 1 2 . Mostre também que f tem infinitos outros pontos críticos e que D = 0 em cada um deles. Quais deles dão origem a valores máximos? E a valores mínimos? E a pontos de sela?

Passo 1

Primeiramente, vamos calcular as seguintes derivadas de f x ,   y = x 2 y e - x 2 - y 2 :

f x = 2 x y e - x 2 - y 2 + x 2 y e - x 2 - y 2   .   - 2 x = 2 x y ( 1 - x 2 ) e - x 2 - y 2

f y = x 2 e - x 2 - y 2 + x 2 y e - x 2 - y 2   .   - 2 y = x 2 ( 1 - 2 y 2 ) e - x 2 - y 2

f x x = 2 y ( 2 x 4 - 5 x 2 + 1 ) e - x 2 - y 2

f x y = 2 x ( 1 - x 2 ) ( 1 - 2 y 2 ) e - x 2 - y 2

f y y = 2 x 2 y ( 2 y 2 - 3 ) e - x 2 - y 2

Passo 2

Agora, repare que f x = 0 implica x = 0 , y = 0 ou x = ± 1 . Mas, se x = 0 , então f y = 0 para qualquer valor de y . Ou seja, existem infinitos pontos críticos da forma 0 ,   y .

Analisando o caso x = ± 1 , podemos verificar que y = ± 1 2 satisfaz f y = 0 , de forma que ± 1 , 1 2 e ± 1 ,   - 1 2 são pontos críticos.

Passo 3

Beleza! Agora vamos fazer o Teste da Segunda Derivada para os pontos críticos:

D 0 , y = f x x 0 , y   f y y 0 , y - f x y 0 , y 2 = 2 y e - y 2   .   0 - 0 2 = 0

Como D = 0 , o teste é inconclusivo, mas repare que se y > 0 , então f x ,   y = x 2 y e - x 2 - y 2 ≥ 0 com igualdade somente quando x = 0 , ou seja, temos mínimos locais:

f 0 ,   y = 0   ,       y > 0

Analogamente, se y < 0 , teremos f x ,   y ≤ 0 com igualdade somente quando x = 0 , então temos máximos locais:

f 0 ,   y = 0   ,       y < 0

Além disso, 0 ,   0 é um ponto de sela.

Passo 4

Show! Agora, se fizermos o Teste da Segunda Derivada para os demais pontos críticos, encontraremos:

D ± 1 , 1 2 = 8 e - 3 > 0   ,           f x x ± 1 , 1 2 = - 2 2 e - 3 2 < 0

Ou seja, f ± 1 , 1 2 são máximos locais.

D ± 1 , - 1 2 = 8 e - 3 > 0   ,           f x x ± 1 , - 1 2 = 2 2 e - 3 2 > 0

Ou seja, f ± 1 , - 1 2 são mínimos locais.

Resposta

M í n i m o s :                     0 ,   y   ,       y > 0

M á x i m o s :                     0 ,   y   ,       y < 0

P o n t o   d e   s e l a :                     0 ,   0

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Selecione os candidatos a extremos locais, sendo f x , y = 2 x 2 + y 2 - 2 x y + x - y