Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.7 - Ex. 20
Mostre que tem valores máximos em e valores mínimos em . Mostre também que tem infinitos outros pontos críticos e que em cada um deles. Quais deles dão origem a valores máximos? E a valores mínimos? E a pontos de sela?
Passo 1
Primeiramente, vamos calcular as seguintes derivadas de :
Passo 2
Agora, repare que implica , ou . Mas, se , então para qualquer valor de . Ou seja, existem infinitos pontos críticos da forma .
Analisando o caso , podemos verificar que satisfaz , de forma que e são pontos críticos.
Passo 3
Beleza! Agora vamos fazer o Teste da Segunda Derivada para os pontos críticos:
Como , o teste é inconclusivo, mas repare que se , então com igualdade somente quando , ou seja, temos mínimos locais:
Analogamente, se , teremos com igualdade somente quando , então temos máximos locais:
Além disso, é um ponto de sela.
Passo 4
Show! Agora, se fizermos o Teste da Segunda Derivada para os demais pontos críticos, encontraremos:
Ou seja, são máximos locais.
Ou seja, são mínimos locais.