Enunciado

Determine o ponto do plano x - 2 y + 3 z = 6 que está mais próximo do ponto ( 0 ,   1 ,   1 ) .

Passo 1

O problema fornece um ponto ( 0 ,   1 ,   1 ) e um plano x - 2 y + 3 z = 6 e devemos achar a menor distância entre o ponto e o plano. Para isso, temos que achar o ponto P = ( x ,   y ,   z ) do plano cuja distância até ( 0 ,   1 ,   1 ) seja a menor possível.

Como esse ponto pertence ao plano, deve satisfazer

x = 6 + 2 y - 3 z

Assim,

P = ( 6 + 2 y - 3 z ,   y , z )

A distância d entre o ponto P do plano e o ponto ( 0 ,   1 ,   1 ) é dada por

d 2 = 6 + 2 y - 3 z - 0 2 + y - 1 2 + z - 1 2

Portanto,

d 2 = 6 + 2 y - 3 z 2 + y - 1 2 + z - 1 2

Desenvolvendo a expressão:

d 2 = 36 + 4 y 2 + 9 z 2 + 24 y - 36 z - 12 y z + y 2 - 2 y + 1 + z 2 - 2 z + 1

Assim,

d 2 = 5 y 2 + 10 z 2 - 12 y z + 22 y - 38 z + 38

Desta forma, queremos achar y ez y que minimizam

f y , z = 5 y 2 + 10 z 2 - 12 y z + 22 y - 38 z + 38

Passo 2

O primeiro passo é encontrar os pontos críticos de f . Tomando o gradiente:

∇ f y , z = ( 10 y - 12 z + 22 ,   20 z - 12 y - 38 )

Assim, fazendo ∇ f y , z = ( 0 ,   0 ) :

10 y - 12 z = - 22 20 z - 12 y = 38 ⇒ 5 y - 6 z = - 11 6 y - 10 z = - 19

Da primeira equação, tiramos

y = 6 z - 11 5

Substituindo na segunda:

6 6 z - 11 5 - 10 z = - 19

Assim,

36 z - 66 - 50 z = - 95

Logo,

- 14 z = - 29

Portanto,

z = 29 14

Assim,

5 y = 6 ⋅ 29 14 - 11 = 3 ⋅ 29 7 - 11 = 10 7 ⇒ y = 2 7

Desta forma, o único ponto crítico de f é

y ,   z = 2 7 , 29 14

Passo 3

Pela natureza do problema, essa função deve ter um mínimo (menor distância entre um ponto e um plano). Sendo assim, esse único ponto crítico deve representar esse mínimo!

O valor de x será

x = 6 + 2 ⋅ 2 7 - 3 ⋅ 29 14 = 6 + 4 7 - 87 14 = 84 + 8 - 87 14 = 5 14

Assim, o ponto do plano pedido é

5 14 , 2 7 , 29 14

Resposta

5 14 , 2 7 , 29 14

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