Enunciado

Determine os pontos da superfície y 2 = 9 + x z que estão mais próximos da origem.

Passo 1

Pessoal, pra determinar os pontos mais próximos da origem, primeiro precisamos escrever uma função que dê a distância dessa superfície até a origem:

d = x - 0 2 + y - 0 2 + z - 0 2

d = x 2 + y 2 + z 2

Mas podemos substituir y 2 = 9 + x z :

d = x 2 + 9 + x z + z 2

Passo 2

Show! Agora precisamos minimizar essa distância. Se só queremos determinar os pontos, não tem problema se escolhermos minimizar a função da distância elevada ao quadrado:

f x ,   z = x 2 + z 2 + x z + 9

Primeiro vamos determinar quais são os pontos críticos:

f x = 2 x + z = 0 ⇒ z = - 2 x  

f z = 2 z + x = 0 ⇒ x = - 2 z

Combinando as duas equações que encontramos, obtemos x = 0 e z = 0 . Ou seja, os pontos críticos são da forma 0 ,   y ,   0 , com y calculado a seguir.

Passo 3

Como só encontramos pontos críticos de uma forma, isso será o que minimiza a função. Agora só falta encontrar o valor de y :

y 2 = 9 + x z = 9 + 0   .   0 = 9 ⇒

y = ± 3

Então, os pontos mais próximos à origem são 0 ,   ± 3 ,   0 .

Resposta

0 ,   ± 3 ,   0

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Determine o ponto do plano x - 2 y + 3 z = 6 que está mais próximo do ponto ( 0 ,1 ,1 ) .