Enunciado

Determine o ponto do plano   x + 2 y - 3 z = 4 mais próximo da origem.

Passo 1

Um enunciado mais claro para este problema seria: “Determine a menor distância de um ponto até a origem, sendo que este ponto deve estar sobre o plano dado”. Aí pronto! Matamos o enunciado!

Lembrando que a distância de um ponto x , y , z à origem é dada por x 2 + y 2 + z 2 , em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = x 2 + y 2 + z 2

g =   x + 2 y - 3 z - 4

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, o ponto DEVE estar SOBRE o plano).

Hmmmm, mas note que termos definido f = x 2 + y 2 + z 2 nos quebra as pernas, pois desse jeito teremos que derivar uma raiz quadrada e carregar ela pra sempre. Por que não definimos, melhor f = x 2 + y 2 + z 2 ? Afinal, procurar o menor x 2 + y 2 + z 2 é o mesmo que procurar o menor x 2 + y 2 + z 2 ! Espertezaaaa!

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g g = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 2 x , 2 y , 2 z

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z = 1,2 , - 3

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f e ∇ g no sisteminha ∇ f = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

2 x , 2 y , 2 z = λ 1,2 , - 3   x + 2 y - 3 z - 4 = 0

Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:

2 x = λ 2 y = 2 λ 2 z = - 3 λ   x + 2 y - 3 z - 4 = 0

Agora, para resolver, o mais sensato é isolar x , y e z nas três primeiras equações:

x = λ 2 y = λ z = - 3 λ 2

Substituindo isto na última equação do sisteminha, ficamos com

λ 2 + 2 λ + 9 λ 2 - 4 = 0

Ou seja, o resultado é λ = 4 7 . Obtivemos o único ponto extremo!

Passo 4

Como saímos com um único valor de λ , o resultado é direto: vamos recuperar x , y e z através do sisteminha:

x = λ 2 y = λ z = - 3 λ 2

Assim, para λ = 4 7 , temos

x = 2 7 y = 4 7 z = - 6 7

Assim, as coordenadas ( x , y , z ) do mínimo são:

2 7 , 4 7 ,   - 6 7

Resposta

2 7 , 4 7 ,   - 6 7

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