Enunciado

Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.

h) f x , y = x 2 - 2 y 2 e x 2 + y 2 - 2 x = 0

Passo 1

Perceba que precisamos usar multiplicador de Lagrange, mas precisamos de um superfície para fazer a restrição .Nos foi dada a restrição,   x 2 + y 2 - 2 x = 0 vamos chama-la de g x , y = x 2 + 2 y 2 - 2 x  

Vamos relembrar como funciona o multiplicador de lagrange

∇ f x , y = λ ∇ g x , y g x , y = 0

Passo 2

Então, precisamos encontrar o gradiente das funções. Vamos lá!

∂ f ∂ x x , y = 2 x     ∂ f ∂ y x , y = - 4 y  

Logo,

∇ f x , y = 2 x , - 4 y

Vamos agora para a função g .  

∂ g ∂ x x , y = 2 x - 2   ∂ f ∂ y x , y = 2 y

Logo,

∇ g x , y = 2 x - 2,2 y

Passo 3

Substituindo os dados no sistema

2 x , - 4 y = λ 2 x - 2,2 y x 2 + 2 y 2 - 2 x = 0

Podemos reescrever o sistema,

2 x = 2   λ x - 2 λ - 4 y = 2 λ y x 2 + 2 y 2 - 2 x = 0

Da segunda equação

- 4 y = 2 λ y ⟹ λ =   - 2          

Substituindo na terceira equação

2 x = 2   λ x - 2 λ     ⟹

2 x = - 4 x + 4   ⟹

x = 2 3

Passo 4

Substituindo na ultima equação

x 2 + 2 y 2 - 2 x = 0   ⟹ y 2 = 4 3 - 4 9   ⟹ y = 2 2 3

Como g é decrescente temos que 2 3 ,   2 2 3 é um ponto de mínimo.

Resposta

2 3 ,   2 2 3 é um ponto de mínimo.

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Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado. c) f x ,y = x 2 + 3 x y - 3 x em A = { x ,y∈R 2 ; x ≥ 0 ,y ≥ 0 e x + y ≤ 1 .
Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado. d) f x ,y = x y em A = { x ,y∈R 2 ; x ≥ 0 ,y ≥ 0 e 2 x + y ≤ 5 } .
Estude a função dada com relação a máximo e mínimo no conjunto dado. e) f x ,y = y 2 - x 2 em A = { x ,y∈R 2 ; x 2 + y 2 ≤ 4 } .
Suponha que T x , y = 4 - x 2 - y 2 represente a distribuição da temperatura no plano. Seja A = {x , y ∈ R 2 ; x ≥ 0,y ≥ 022 y + x ≤ 4 }
Determine ( x , y ) que maximiza 2 x + y com x , y tais que y = 1 - 2 x e 0 ≤ x ≤ 1 2