Enunciado

Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral. Divida B em oito subcaixas de tamanho igual.

∭ B cos ⁡ x y z d V

Onde B = x , y , z | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1 .

Passo 1

Para utilizarmos a Regra do Ponto médio, precisamos fazer o somatório:

∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 ∑ k = 1 2 f x - i , y - j , z - k Δ V

Para isto, precisamos dividir o nosso sólido em 8 partes iguais. Logo, precisamos subdividir cada um dos intervalos x , y e z em 2 partes. Pegando o ponto médio de cada uma dessas regiões, temos os seguintes pontos:

A = 0.25 ,   0.25 ,   0.25

B = 0.25 ,   0.25 ,   0.75

C = 0.25 ,   0.75 ,   0.25

D = 0.25,0.75 ,   0.75

E = 0.75 ,   0.25 ,   0.25

F = 0.75 ,   0.25 ,   0.75

G = 0.75 ,   0.75 ,   0.25

H = 0.75 ,   0.75 ,   0.75

Vamos calcular o valor da função em cada um destes pontos e multiplicar pelo volume da caixa, o qual é dado por:

Δ V = 0.5 ⋅ 0.5 ⋅ 0.5 = 0.125

Passo 2

Vamos então fazer o produto da função f x , y , z pelo Δ V para cada um dos pontos. Desta forma, temos:

cos ⁡ 0.25 ⋅ 0.25 ⋅ 0.25 ⋅ 0.125 = 0,12498

cos ⁡ 0.25 ⋅ 0.25 ⋅ 0.75 ⋅ 0.125 = 0,12486

cos ⁡ 0.25 ⋅ 0.75 ⋅ 0.25 ⋅ 0.125 = 0,12486

cos ⁡ 0.25 ⋅ 0.75 ⋅ 0.75 ⋅ 0.125 = 0,123766

cos ⁡ 0.75 ⋅ 0.25 ⋅ 0.25 ⋅ 0.125 = 0,12486

cos ⁡ 0.75 ⋅ 0.25 ⋅ 0.75 ⋅ 0.125 = 0,123766

cos ⁡ 0.75 ⋅ 0.75 ⋅ 0.25 ⋅ 0.125 = 0,123766

cos ⁡ 0.75 ⋅ 0.75 ⋅ 0.75 ⋅ 0.125 = 0,11404

Portanto, o valor final é dado pelo somatório de cada um destes resultados, o qual é:

∭ B cos ⁡ x y z d V ≈ 0,9849

Resposta

∭ B cos ⁡ x y z d V ≈ 0,9849

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse o volume da cunha no primeiro octante que é cortada do cilindro y 2 + z 2 = 1 pelos planos y = x e x = 1 como uma integral tripla.Utilize a Tabela de Integrais (nas Páginas de Refêrencia 6-10
O valor médio de uma função f ( x , y , z ) em uma região sólida E é definido como f m e d = 1 V ( E ) ∭ E f x , y , zd V Onde V ( E ) é o volume de E . Por exemplo, se ρ é a função densidade, então ρ
Suponha que X ,Y e Z sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta f x , y , z = C e - ( 0,5 x + 0,2 y + 0,1 z ) se x ≥ 0 ,y ≥ 0 ,z ≥ 0 e f x , y , z = 0 caso contrário.Determine o valor da
O valor médio de uma função f ( x , y , z ) em uma região sólida E é definido como f m e d = 1 V ( E ) ∭ E f x , y , zd V Onde V ( E ) é o volume de E . Por exemplo, se ρ é a função densidade, então ρ
A função densidade conjunta das variáveis aleatórias X ,Y e Z é f x , y , z = C x y z se 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 2 e f x , y , z = 0 caso contrário.Determine o valor da constante C .Determine