Enunciado

Determine uma representação paramétrica para a superfície.

O Plano que passa pelo ponto 0 , - 1,5 e contém os vetores 2,1 , 4 e - 3,2 , 5

Passo 1

Vamos lembrar que, para escrevermos a equação paramétrica de uma reta, precisamos sempre de pelo menos um ponto e um vetor. Quando essa representação se expande para o plano, passamos a necessitar de agora um ponto e dois vetores, chamados de vetores diretores. Desta forma representamos a equação paramétrica de um plano como

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + γ u → + λ v →

Passo 2

O enunciado já nos dá todas as informações que precisamos.

O plano deve passa pela origem e contém os vetores u → = ( 1 , - 1,0 ) e v → = ( 0,1 , - 1 ) . Com isso podemos escrever

x , y , z = 0 , - 1,5 + γ 2,1 , 4 + λ ( - 3,2 , 5 )

Passo 3

Agora queremos escrever a equação geral para esse plano. Então

x = 2 γ - 3 λ

y =   - 1 +   γ + 2 λ

z =   5 + 4 γ + 5 λ

Precisamos saber que é γ e λ em função de x e y e posteriormente substituir em z .

γ = x + 3 λ 2 → y =   - 1 + x + 3 λ 2 + 2 λ → - 2 + x + 3 λ + 4 λ = 2 y

λ = 2 y - x + 2 7

Agora

γ = x + 3 λ 2 = 7 x + 6 y - 3 x + 6 14 = 4 x + 6 y + 6 14 = 2 x + 3 y + 3 7

Por fim

z = 5 + 4 γ + 5 λ = 5 + 4 2 x + 3 y + 3 7 + 5 2 y - x + 2 7

= 35 + 8 x + 12 y + 12 + 10 y - 5 x + 1 0 7 = 3 x + 2 2 y + 5 7 7

3 x + 2 2 y - 7 z + 5 7 = 0

Resposta

3 x + 22 y - 7 z + 57 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine uma representação paramétrica para a superfície.A parte do elipsoide x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1 que se encontra à esquerda do plano x z .
Determine uma representação paramétrica para a superfície.O Plano que passa pela origem e contém os vetores i ^ - j ^ e j ^ - k ^
Determine se os pontos PeQ estão na superfície dada. r u , v = u + v ,u - 2 v , 3 + u - v P 4 , - 5 , 1 , Q ( 0 , 4 , 6 )
Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre essa impressão quais são as curvas da grade que têm u constante e quais têm v constante. r u ,