Enunciado

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado

x = t  

y = t 2 - 2 t

t =   4

Passo 1

Chegamos a uma parte que temos uma regra da cadeia e evoluída. Para calcular a derivada d y d x vamos precisar de uma sagacidade agora. ( o que eu vou te mostrar um matemático teria um ataque cardíaco, mas funciona para compreender, rsrs )

d y d x = d y d x * d t d t   → d y d t * d t d x

Ou podemos escrever como

d y d x = d y d t d x d t

Use a forma que achar melhor e que for mais fácil para resolver a nossa equação. Quando terminarmos de calcular a derivada, vamos montar a equação da reta tangente . Beleza, então temos essas equações

x = t  

y = t 2 - 2 t

Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro

d y d x = d y d t d x d t

d y d x = d d t t 2 - 2 t       d d t t

Passo 2

Então nossa derivada fica :

d y d x = d d t t 2 - 2 t       d d t t

Vamos só lembrar que

d d x   x n   = n x n - 1

Show! Então como fica nossa derivada?

= 2 t - 2 1 2 t

= 4   ( t ) ( t - 1 )

Passo 3

Agora vamos aplicar nosso ponto para descobrir a inclinação da reta tangente

d d x f 4 =   4   4 4 - 1

= 4 2 3  

= 24

Lembra como montamos uma equação de reta?

y - y 0 = a x - x 0

Onde esse ( x 0 ,   y 0 ) são nossos pontos iniciais. Como t =   4 é só a gente plotar esse numero nas nossas equações para x e y

x = t  

y = t 2 - 2 t

Então fica :

x 4 = 4 → 2

y 4 = 4 2 - 2 * 4 → 8

Então

x 0 ,   y 0 = 4,8

Logo nossa equação da reta fica

y - y 0 = a x - x 0

y - 8 = 24 x - 4

Show! Conforme você for resolvendo mais funções, mais vai pegando o jeito. Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução : )

Resposta

y - 8 = 24 x - 4

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