Enunciado

Determine se os pontos P e Q estão na superfície dada.

r (u , v) = (u + v , u - 2 v , 3 + u - v)

P (4 , - 5 , 1) , Q ( 0 , 4 , 6 )

Passo 1

Pessoal, precisamos determinar se os pontos dados estão na superfície indicada por r ( u , v ) , certo? Comecemos por P . Uma maneira de sabermos se o ponto faz parte da superfície é igualando suas coordenadas com as coordenadas da superfície. Assim, precisamos resolver o seguinte sistema de equações:

{[[u + v = 4],[u - 2 v = - 5]])

Vamos multiplicar a primeira equação por 2 .

{[[2 u + 2 v = 8],[u - 2 v = - 5]])

Somando as duas equações:

3 u = 3

u = 1

Substituindo u = 1 na primeira equação do sistema, temos:

1 + v = 4

v = 3

Por fim, vamos substituir os valores de u e v na seguinte equação:

3 + u - v = 1

3 + 1 - 3 = 1

1 = 1

Como a equação foi satisfeita, podemos afirmar que o ponto P está na superfície!

Passo 2

Para o ponto Q a abordagem é a mesma. Vamos montar o sistema de equações e descobrir os valores para u e v .

{[[u + v = 0],[u - 2 v = 4]])

Da primeira equação podemos tirar que u = - v . Substituindo na segunda, teremos:

- v - 2 v = 4

- 3 v = 4

v = - (4)/(3)

Como u = - v ,

u = (4)/(3)

Por fim, vamos substituir os valores de u e v na seguinte equação:

3 + u - v = 6

3 + (4)/(3) + (4)/(3) = 6

(9 + 8)/(3) = 6

(17)/(3) = 6

Como os valores de u e v não satisfaem a equação, podemos afirmar que o ponto Q não está na superfície indicada.

Resposta

O ponto P está na superfície e o ponto Q não está na superfície.

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