Enunciado

Se vec u (t) = hat i - 2 t^2 hat j + 3 t^3 hat k e vec v (t) = t hat i + cos t hat j + s e n t hat k . Determine

(d)/(d t) [ vec u (t) * vec v (t) ]

Passo 1

Antes de sairmos substituindo quem é vec u (t) e vec v (t) e começar a derivar, vamos fazer o calculo algébrico da derivada. Como temos um produto escalar dentro da derivada, precisamos aplicar a regra do produto.

(d)/(d t) [vec u (t) * vec v (t)] = vec u (t) * vec v^' (t) + vec u ' (t) * vec v (t)

Passo 2

Então agora precisamos calcular quem é vec u ' (t) e vec v ' (t) :

vec u^' ( t ) = 〈0 , - 4 t , 9 t^2〉

vec v^' ( t ) = 〈1 , - s e n t , cos t〉

Desta maneira a derivada fica:

(d)/(d t) [vec u (t) * vec v (t)] = 〈1 , - 2 t^2 , 3 t^3〉 * 〈1 , - s e n t , cos t〉 + 〈0 , - 4 t , 9 t^2〉 * 〈1 , + cos t , s e n t〉

(d)/(d t) [vec u (t) * vec v (t)] = 1 + 2 t^2 s e n t + 3 t^3 cos t - 4 t cos t + 9 t^2 s e n t

(d)/(d t) [vec u (t) * vec v (t)] = 1 - 4 t cos t + 9 t^2 s e n t + 3 t^3 c o s t

Resposta

(d)/(d t) [vec u (t) * vec v (t)] = 1 - 4 t cos t + 9 t^2 s e n t + 3 t^3 c o s t

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