Enunciado

Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial.

F x , y , z = x e - y , x z , z e y

Passo 1

Primeiro vamos nos lembrar o que é um rotacional e o que é um divergente. O rotacional de um campo pode ser visto como o produto vetorial do operador gradiente com o gradiente da função. Sabendo que F = P i + Q j + R k , então

r o t   F = ∇ × F = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^

Já o divergente pode ser visto como o produto interno de um operador gradiente uma função, logo,

d i v   F = ∇ ⋅ F

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Passo 2

Vamos fazer os cálculos do rotacional então! Para isto, vamos calcular cada um dos termos separadamente, a começar pelo termo na direção do vetor i ^ . Portanto,

∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i ^ = ∂ z e y ∂ y - ∂ x z ∂ z i ^ = z e y - x i ^

Já para o termo que acompanha j , temos:

∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j ^ = ∂ x e - y ∂ z - ∂ z e y ∂ x j ^ = - 0 - 0 j ^

Por fim, o termo que acompanha k é:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k ^ = ∂ x z ∂ x - ∂ x e - y ∂ y k ^ = z + x e - y k ^

Logo, o rotacional é:

r o t   F = z e y - x i ^ + z + x e - y k ^

Resposta

r o t   F = z e y - x i ^ + z + x e - y k ^

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