Enunciado

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F x , y , z = s e n   y z i ^ + s e n   z x j ^ + s e n   x y k ^

Passo 1

Para calcularmos o rotacional definido como ∇ × F ^

∇ × F ^ = i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z F x F y F z = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

E para calcularmos o divergente ∇ ⋅ F → , fazemos

∇ ⋅ F → = d F x d x + d F y d y + d F z d z

Agora temos elementos para resolver o problema

Passo 2

  1. Vamos calcular o rotacional da F → dada
  2. ∇ × F ^ = i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z s e n   y z s e n   z x s e n   x y

    = d ( s e n   x y ) d y - d ( s e n   z x ) d z i ^ + d ( s e n   y z ) d z - d ( s e n   x y ) d x j ^ + d s e n   z x d x - d ( s e n   y z ) d y k ^

    ∇ × F → = x cos ⁡ x y - x cos ⁡ z x i ^ + y cos ⁡ y z - y cos ⁡ x y j ^ + z cos ⁡ z x - z cos ⁡ y z k ^

    Passo 3

  3. Agora calculando o divergente de F →

∇ ⋅ F → = d s e n   y z d x + d s e n   z x d y + d y s e n   x y d z = 0 + 0 + 0

∇ ⋅ F → = 0

Resposta

∇ × F → = x cos ⁡ x y - x cos ⁡ z x i ^ + y cos ⁡ y z - y cos ⁡ x y j ^ + z cos ⁡ z x - z cos ⁡ y z k ^

∇ ⋅ F → = 0

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