Determine y = y(x) que satisfaça as condições dadas

dy/dx = (3y)^2 e y(0) = 1/2

Passo 1

Primeiramente vamos colocar pra cada lado os termos com mesma variável:

d y d x = 3 y 2  

d y 3 y 2 = y - 2 3 d y = d x

Agora podemos integrar:

∫ y - 2 3 d y = ∫ d x = x + k

Passo 2

A integral vai ficar:

∫ y - 2 3 d y = x + k

Vamos lembrar que:

∫ y n d y = y n + 1 n + 1

Para esse caso:

∫ y - 2 3 d y = 1 3 ∫ y - 2 d y = 1 3 y - 2 + 1 - 2 + 1 = - 1 3 y - 1 = - 1 3 y

- 1 3 y = x + k

Passo 3

Se quisermos y :

1 y = - 3 x + k = - 3 x - 3 k

y = 1 - 3 x + k

Passo 4

Agora vamos achar k substituindo x = 0

y 0 = 1 - 3 k

Sabemos que y 0 = 1 2 , então:

1 2 = 1 - 3 k → k = - 2 3

Substituindo esse valor em y x :

y = 1 - 3 x - 2 3 = 1 - 3 x + 2 = 1 2 - 3 x

y x = 1 2 - 3 x

Resposta

y x = 1 2 - 3 x

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