Enunciado

Uma equação diferencial da forma d y d x = f a x + b y + c ,   b ≠ 0 , pode sempre ser reduzida a uma equação com variáveis separáveis por meio da substituição u = a x + b y + c . Use este procedimento para resolver os Problemas 57-62.

57. d y d x = x + y + 1 2

Passo 1

Então pessoal, aqui o objetivo é resolvermos a equação diferencial dada utilizando a substituição indicada pelo enunciado, tudo bem? Sendo assim, vamos aplicar a ideia para ver o que surge! A equação que nos foi dada é:

d y d x = x + y + 1 2

Fazendo a seguinte substituição:

u = x + y + 1

Teremos:

d u d x = 1 + d y d x ⇒ d u d x - 1 = d y d x

Substituindo o que encontramos na nossa equação diferencial, teremos:

d u d x - 1 = u 2

Isolando as variáveis:

d u 1 + u 2 = d x

Show!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ d u 1 + u 2 = ∫ d x

A integral da esquerda tem um resultado bastante conhecido e tabelado, que é:

∫ d u 1 + u 2 = a r c tan ⁡ u + c 1

Já a integral da direita também tem um resultado bem comum:

∫ d x = x + c 2

Passo 3

Por fim, igualando os resultados:

a r c tan ⁡ u + c 1 = x + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

a r c tan ⁡ u = x + c 3

Para facilitar nossa vida, vamos simplificar esse arco trigonométrico assim:

u = tan ⁡ x + c 3

Mas note que estamos com um resultado em u e queremos um resultado em y , certo? Logo, lembrando da substituição que fizemos lá no passo 1, teremos:

x + y + 1 = tan ⁡ x + c 3

∴ y = tan ⁡ x + c 3 - x - 1

E esse é nosso resultado!

Resposta

y = tan ⁡ x + c 3 - x - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O rádio – 26 tem uma meia – vida de 1620 anos. Encontre o tempo necessário para que determinada quantidade desse material seja reduzida da quarta parte.
De acordo com a lei de resfriamento (veja o problema 23 da secão 1.1), a temperatura u(t) de um objeto satisfaz a equação diferencial. d u d t =- k ( u - T ) Em que T é a temperatura ambiente constant
Um material radioativo, como o isótopo tório – 234, desintegra a uma taxa proporcional a quantidade presente. Se Q ( t ) é a quantidade presente no instante t, então d Q d t =- r Q , em que r0 é a tax
Considere um circuito elétrico contendo um capacitor, um resistor e uma bateria; veja figura 1.2.3. A carag Q(t) no capacitor satisfaz a equação R d Q d t + Q C = V Em que R é a resistência, C a capac
Em cada um dos problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada. x y ' = ( 1 - y 2 ) 1 / 2