Enunciado

Nos problemas 41-48, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

44. d y d t + t y = y , no qual y 1 = 3 .

Passo 1

Então galera, o nosso objetivo nessa questão é, primeiramente, resolver a equação diferencial da forma que estamos estudando, que é separando as variáveis, isto é, integrando tudo que tem x de um lado e tudo que tem y do outro, beleza? Show!

Quando a questão fala de condição inicial isso quer dizer que depois de resolvermos a equação diferencial, aplicando os pontos que a questão deu, conseguiremos determinar a constante arbitrária que surge na integração. O ponto dado serve exclusivamente para isso, tudo bem? Então vamos começar!

A equação que nos foi dada é:

d y d t + t y = y

Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:

d y d t = y - t y

Colocando y em evidência:

d y d t = y 1 - t

d y y = 1 - t d t

Opa! Variáveis devidamente separadas. Então simbora para o último passo!

Passo 2

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ d y y = ∫ 1 - t d t

∫ d y y = ∫ d t - ∫ t d t

Para a integral da esquerda, felizmente temos um resultado manjado e bem definido, que é:

∫ d y y = ln ⁡ y + c 1

Já para as integrais da direita da nossa igualdade basta utilizarmos a seguinte regrinha:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + c

Aplicando a ideia, teremos:

∫ d t - ∫ t d t = t - t 2 2 + c 2

Show!

Passo 3

Por fim, igualando os resultados:

ln ⁡ y + c 1 = t - t 2 2 + c 2

Juntando c 1 com c 2 teremos uma terceira constante que vamos chamar de c 3 , ok? Logo, nosso resultado será:

ln ⁡ y = t - t 2 2 + c 3

Simplificando, teremos:

y = c 3 e t - t 2 2

Note que agora que resolvemos a equação diferencial surgiu uma constante arbitrária, conforme discutimos no passo 1. Aplicando o ponto y 1 = 3 , teremos:

3 = c 3 e 1 - 1 2

∴ c 3 = 3 e - 1 2

Sendo assim, nosso resultado para a condição inicial dada será:

y = 3 e - 1 2 . e t - t 2 2

E está aí a resolução! 😉

Resposta

y = 3 e - 1 2 . e t - t 2 2

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