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  1. Aplique o método de Newton à equação x 2 - a = 0 para deduzir o seguinte algoritmo para a raiz quadrada (usado pelos antigos babilônios para calcular a )
  2. x n + 1 = 1 2 x n + a x n

  3. Use a parte (a) para calcular 1000 com precisão de seis casas decimais.

Passo 1

  1. Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:
  2. x n + 1 = x n - f x n f ' x n

    Primeiro temos que f x = x 2 - a

    Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

    Passo 2

    Para achar a derivada de f vamos usar algumas regras de derivação, da função constante e do polinômio:

    c ' = 0

    x n ' = n x n - 1

    Vamos calcular f ' x :

    f ' x = x 2 - a ' = 2 x 2 - 1 - 0 = 2 x

    Passo 3

    Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

    x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 2 - a 2 x n = x n - 1 2 x n + a 2 x n = 1 2 x n + a 2 x n = 1 2 x n + a x n

    Passo 4

  3. Usando a = 1000 e x 1 = 900 = 30 , um número razoavelmente próximo de 1000 , vamos substituir na fórmula:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 2 - a 2 x 1 = 31,666667

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 2 - a 2 x 2 ≈ 31,622807

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 2 - a 2 x 3 ≈ 31,622777

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 2 - a 2 x 4 ≈ 31,622777

Assim, 1000 ≈ 31,622777

Resposta

b   1000 ≈ 31,622777

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