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Determine d r / d s da seguinte expressão r c o s ( 2 s ) + s e n 2 ( s ) = π

Passo 1

Para obtermos d r / d s , derivamos em s ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

d d s [ r c o s ( 2 s ) + s e n 2 ( s ) ] = d d s ( π )

Passo 2

Aplicamos a regra da homogeneidade no primeiro termo a esquerda, a regra da cadeia da função trigonométrica no segundo. Derivamos o termo constante π a direita, dando zero. Assim:

[ d r d s c o s ( 2 s ) + r d d s c o s ( 2 s ) + 2 s e n ( s ) c o s ( s ) ] = 0

O primeiro termo a esquerda apresenta a derivada implícita de d r d s .

Passo 3

Derivamos o segundo termo a esquerda da função trigonométrica c o s ( 2 s ) , aplicando aqui uma regra da cadeia. Logo:

[ d r d s c o s ( 2 s ) - 2 r s e n ( 2 s ) + 2 s e n ( s ) c o s ( s ) ] = 0

Isolando d r d s , teremos:

d r d s c o s ( 2 s ) = + 2 r s e n ( 2 s ) - 2 s e n ( s ) c o s ( s ) → d r d s = 2 r s e n ( 2 s ) - 2 s e n ( s ) c o s ( s ) c o s ( 2 s )

Passo 4

Contudo, sabendo que:

2 s e n ( s ) c o s ( s ) =sen(2s)

Teremos:

d r d s = 2 r s e n ( 2 s ) - s e n ( 2 s ) c o s ( 2 s ) → d r d s = 2 r s e n ( 2 s ) c o s ( 2 s ) - s e n ( 2 s ) c o s ( 2 s )

Passo 5

Temos que:

s e n ( 2 s ) c o s ( 2 s ) = t g ( 2 s )

Então:

d r d s = 2 r ⋅ t g ( 2 s ) - t g ( 2 s )

Resposta

Pondo o termo t g ( 2 s ) em evidência teremos o resultado como:

d r d s = t g ( 2 s ) ( 2 r - 1 )

Reparemos que os procedimentos a partir do passo 4, foram apenas operações para que chegássemos na resposta correta.

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