Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

37. a n = 2 n - 1 ! 2 n + 1 !

Passo 1

Para sabermos se a sequência irá convergir, aplicamos o limite sobre ela, com n → ∞ :

L = lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 ! 2 n + 1 !

Se L for um número, podemos dizer que a sequência converge para L , mas se L → ∞ , aí a sequência diverge.

Passo 2

Vamos abrir parte do fatorial no denominador para resolver esse limite, pois por enquanto temos a indeterminação ∞ / ∞ :

L = lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 ! 2 n + 1 ( 2 n ) ( 2 n - 1 ) !

Como o termo 2 n - 1 “apareceu”, podemos parar de aplicar os produtos do fatorial, e simplificarmos, ficamos com:

L = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 ( 2 n )

Passo 3

E ao aplicarmos o limite, ele irá convergir para zero, já que temos n no denominador tendendo para infinito, então:

L = 0

E a sequência converge.

Resposta

L = 0

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