Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

36. a n = - 1 n + 1 n n + n  

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa sequência

a n = - 1 n + 1 n n + n  

E devemos decidir se ela converge ou diverge. Mas como fazer isso? Note que ela tem um termo do tipo

- 1 n + 1

Esse termo faz com que o sinal dos termos seja alternado! E isso é ��timo, porque temos um teste que ajuda a gente! O do limite! Ele nos diz que o limite do módulo do termo geral indo para um número finito, então a sequência é convergente.

No caso de sequências alternadas, a parte do termo geral é sem esse termo alternador! Assim o limite

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ a n = L

A ideia é aplicar esse limite na nossa sequência e verificar se converge para algum número! Bora começar?

Passo 2

Para fazermos o - 1 n + 1 sumir, precisamos aplicar o módulo na sequência, e depois aplicarmos o limite, já que sabemos que se o valor absoluto da sequência converge, a própria sequência também converge:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ a n = L

Aplicando o módulo e o limite teremos:

L = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 n n + n  

E como todos os termos negativos passam a ser positivos, podemos escrever:

L = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 n n + n   = lim n → ∞ ⁡ n n + n  

Passo 3

E agora para resolvermos a indeterminação ∞ / ∞ , vamos pegar o maior grau de n no denominador, no caso é n , e colocamos ele em evidência:

L = lim n → ∞ ⁡ n n 1 + n n  

Simplificando:

L = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + n n  

Colocando o n para dentro da raiz naquele termo lá embaixo:

L = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + n n 2  

Que será o mesmo que:

L = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n  

Passo 4

Ao aplicarmos o limite, o termo 1 n tende a zero já que n → ∞ , e sobra:

L = 1 1 = 1

Então a sequência converge para 1.

Resposta

converge

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