Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge, Se ela convergir, encontre o limite.

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a n = n - n 2 - 1

Passo 1

Ao analisarmos se a sequência converge ou diverge, o que precisamos descobrir é se o limite dessa sequência a n existe, ou seja, se à medida que avançamos nos termos da sequência ela se aproxima de um valor fixo.

Inicialmente, pode ser complexo analisar o limite de a n = n - n 2 - 1 . O que podemos fazer para facilitar o cálculo do limite dessa sequência é “tirar” termos de dentro da raiz e simplificar termos dentro dela.

Passo 2

Fazendo essa simplificação, vamos multiplicar por n n para dentro das raízes. Isso seria o mesmo que multiplicar por n n a sequência toda e não afetaria o resultado, já que n n = 1 . Assim aparecerão alguns termos n 2 , eliminando algumas raízes.

a n = n × n n - n 2 - 1 × n n

Multiplicando os termos, temos:

a n = n 2 n - n 3 n - n n

Agora podemos separar os termos n 2 , que vão eliminar algumas raízes, colocando os em evidência:

a n = 1 n . n 2 - n 2 . n n - 1 n 2

Pela propriedade da radiciação, temos que: a . b n = a n . b n . Então nossa expressão fica:

a n = 1 n   . n 2 - n 2   . 1 - 1 n 2

Como n 2 = n , ficamos com:

a n = 1 n   . n - n   . 1 - 1 n 2

Colocamos n   em evidência:

a n = n . 1 n   - 1 - 1 n 2

Por fim simplificamos: 1 n = 1 n

a n = n 1 n - 1 - 1 n 2

Passo 3

Agora vamos fazer o limite tendendo ao infinito dessa sequência.

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n 1 n - 1 - 1 n 2

Sabemos que quando n → ∞ , 1 n   e 1 n 2 ficam cada vez menores e tendem a 0, por isso:

lim n → ∞ ⁡ a n = ∞ 0 - 1 - 0 = - ∞

Resposta

Logo a sequência diverge, pois seu limite não existe.

Lembrando que o limite é usado para determinar se uma sequência converge porque nos permite analisar o comportamento dos termos da sequência à medida que avançamos indefinidamente por eles. Assim, se o limite da sequência existe e é igual a um número L então a sequência converge para L , o que significa que os termos vão se aproximar desse valor L quanto mais termos da sequência analisarmos.

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