Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela converge, encontre o limite.

40. a n = tan - 1 ⁡ n n

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa sequência aqui

a n = tan - 1 ⁡ n n

E precisamos decidir se ela converge ou diverge. E agora? Bom, para decidir isso, vamos precisar avaliar o limite desse termo geral quando n →   ∞ ,

lim n → ∞ ⁡ a n

Se esse limite for um número, então dizemos que a sequência converge para esse número. Agora se o resultado por , dizemos que essa sequência diverge.

Mas relaxa, vou fazer contigo!

Passo 2

Podemos escrever a sequência assim:

  a n = tan - 1 ⁡ n n = a r c t g ( n ) n

Para sabermos se ela é convergente ou divergente aplicaremos o limite na sequência com n → ∞ :

lim n → ∞ ⁡   a n = lim n → ∞ ⁡ a r c t g ( n ) n

Se esse limite tender para um número L , a sequência é convergente, se não tender, ela será divergente.

Passo 3

Aplicamos o limite no numerador e no denominador (o limite da razão é igual à razão dos limites):

L = l i m n → ∞ a r c t g ( n ) l i m n → ∞ n

Passo 4

O limite de cima dá:

l i m n → ∞ a r c t g n = π 2

E o limite de baixo:

l i m n → ∞ n = ∞

Juntando os dois na razão, a gente fica com π 2 ∞ → 0 , então L será:

L = 0

E a sequência converge para 0.

Espero ter ajudado!

Resposta

L = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.15. - 3 ,2 ,- 4 3 , 8 9 ,- 16 27 …
3-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.10. a 1 = 6 ,a n + 1 = a n n
13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.14. 1 ,- 1 3 , 1 9 ,- 1 27 , 1 81 …
3-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.6. a n = cos ⁡ n π 2
3-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.3. a n = 2 n n 2 + 1