Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a n = cos ⁡ n 2

Passo 1

Beleza, galera?

Vamos ver se essa sequencia aí converge ou diverge. O que você acha? Tem um palpite??

Pra saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela no infinito:

l i m n → ∞   a n

Se o resultado for um número, então a sequência converge pra esse número. Se for infinito (positivo ou negativo) ou se o limite não existe, então a sequência diverge.

Aplicando na nossa sequencia:

l i m n → ∞   a n = l i m n → ∞   cos ⁡ n 2

Vamos ver o que vai ser ;D

Passo 2

l i m n → ∞   cos ⁡ n 2

Vamos pensar sobre isso. Qual o cosseno da metade de um número muito muito muito grande?? Isso existe?

Vamos olhar pra esse outro limite (que não tem a divisão por 2 dentro do parênteses). Esse limite existe?

l i m n → ∞   cos ⁡ n

Hmmm, estranha essa pergunta ne, porque o cosseno oscila, ele é periódico, fica mudando entre -1 e +1. Exatamente! O valor dessa sequencia, vai subir e descer, e oscilar entre -1 e +1, então o limite não existe.

Mas e a nossa sequência original? l i m n → ∞   cos ⁡ n 2

Aqui o limite também não vai existir, porque diante do infinito, dividir por 2 é irrelevante. Essa sequencia também vai ser periódica, apenas terá outro período. E seus valores não tendem a um valor.

Então a sequência diverge.

Resposta

Sequência divergente

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3-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.4. a n = 3 n 1 + 2 n
Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue. 1 2 ,- 4 3 , 9 4 ,- 16 5 , 25 6 ,…
3-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.11. a 1 = 2 ,a n + 1 = a n 1 + a n
3-12. Liste os cinco primeiros termos da sequência.9. a 1 = 1 ,a n + 1 = 5 a n - 3
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.39. e n + e - n e 2 n - 1