Enunciado

Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 2 . 2 n n !

Passo 1

Fala pessoal, Beleza?Mais uma questãozinha de teste de convergência... Nesse exercício iremos utilizar o teste da razão para descobrir qual a situação dessa série. Porque o teste da razão? Ora, o teste da razão pode ajudar a identificar se a série é absolutamente convergente ou se é apenas condicionalmente convergente. Além disso, há um termo ao fatorial, o que pode dificultar o uso de outros métodos.

Passo 2

Vamos relembrar o que diz o teste da razão?

  1. Uma série é absolutamente convergente, (toda série absolutamente convergente é convergente) se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1  
  2. Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1 a série é divergente.

Você deve estar se perguntando: “E se o limite for exatamente igual a 1 ?” Bom... nesse caso meu amigo, não podemos dizer nada sobre a convergência da série, e somos obrigados a escolher outro método.

Vamos usar o teste da razão: Colocando

a n = - 1 n + 1 n 2 . 2 n n !     e   a n + 1   = - 1 n + 2 ( n + 1 ) 2 2 n + 1 n + 1 !  

Escrevendo:

a n + 1 a n = - 1 n + 2 n + 1 2 2 n + 1 n + 1 !   - 1 n + 1 n 2 . 2 n n !

Nossa!!! Que equação grande. Vamos simplificar isso?!

De imediato vamos “sumir” com os valores - 1 n + 1 e - 1 n + 2 . Pois estamos interessados apenas no módulo. E o sinal não irá interferir no resultado.Com isso temos:

a n + 1 a n = n + 1 2 2 n + 1 * n ! n 2 . 2 n * n + 1 !

ÚFA!!! Melhorou né? Pela própria definição de fatorial também sabemos que:

n + 1 ! = n + 1 * n !

De modo que temos:

a n + 1 a n = n + 1 * n + 1 * 2 n * 2 * n ! n 2 . 2 n * n + 1 * n ! = 2 n + 1 n 2

Simplificando mais ainda temos:

a n + 1 a n = 2 n + 2 n 2

E podemos facilmente calcular esse limite:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 2 n 2 = 0

Clássico caso em que o denominador avança para o infinito muito mais rápido que o numerador.

Portanto, L = 0 .

Pelo, teste da razão, a série é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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