Enunciado

Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ - 1 n sech ⁡ n  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Seja o termo geral da sequência dado por:

a n = - 1 n sech ⁡ n  

A secante hiperbólica pode ser representada também pela sua expressão analítica:

a n = - 1 n 2 e n + e - n  

E o seu termo consecutivo,

a n + 1 = - 1 n + 1 2 e n + 1 + e - n - 1  

Vamos aplicar o teste da razão para verificar a sua convergência, calculando o limite, definido por:

lim n →  ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n →  ∞ ⁡ - 1 n + 1 2 e n + 1 + e - n - 1 - 1 n 2 e n + e - n =   lim n →  ∞ ⁡ - 2 e n + 1 + e - n - 1 2 e n + e - n =    

Simplificando os termos comuns, temos:

lim n →  ∞ ⁡ - e n + e - n e n + 1 + e - n - 1 =     lim n →  ∞ ⁡ e n + e - n e n + 1 + e - n - 1 = lim n →  ∞ ⁡ 1 + 1 e 2 n     e + 1 e 2 n + 1 = 1 e    

De acordo com o teste da razão, se o limite é menor que 1 a série converge.

Sendo assim, a série converge absolutamente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Condicionalmente convergente.

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