Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 2 ∞ - 1 n ln ⁡ n

Passo 1

Nessa questão, a série começa em n = 2 . No entanto, vamos testar a convergência para a série começando em n = 1 e se elea for convergente, então para n = 2 também será.

Vamos verificar a convergência absoluta:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n = ∑ n = 1 ∞ 1 ln ⁡ n

Pela relação ln ⁡ n < n , vale que 1 ln ⁡ n > 1 n .

Portanto, pelo teste de comparação, como a série harmônica diverge, temos que a série em questão também diverge.

Logo, ela não converge absolutamente.

Passo 2

Vamos verificar a convergência da série alternada:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ln ⁡ n

Colocando b n = 1 ln ⁡ n e usando que a função logarítmica é crescente e lim n → + ∞ ⁡ ln ⁡ n =   + ∞ ⁡ , temos que a sequência b n é decrescente e lim n → + ∞ ⁡ b n = 0 .

Portanto, pelo teste da sequência alternada, a série converge.

Como ela converge, mas não é absolutamente convergente, a série é condicionalmente convergente.

Portanto, a série

∑ n = 2 ∞ - 1 n ln ⁡ n

Também é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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