Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

20-

∑ n = 2 ∞ - 1 n ( ln ⁡ n ) n

Passo 1

Como o numerador e o denominador estão elevados a mesma potência n então podemos aplicar o teste da razão, assim como poderíamos continuar utilizar o teste da razão ou até mesmo utilizar o teste da série alternada.

Só que note que se fizermos pelo teste da razão teríamos:

a n = - 1 n ( ln ⁡ n ) n

a n + 1 = - 1 n + 1 ( ln ⁡ n + 1 ) n + 1

E essa divisão entre l n ⁡ ( n + 1 ) por ln ⁡ n   em expoentes diferentes vai complicar bastante a nossa vida e não estamos aqui pra complicar a sua também né, então o melhor caminho aqui é utilizar o teste da raiz.

Passo 2

O teste da raiz nos diz que:

lim n → ∞ ⁡ | a n | n < 1 → a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e

Os resultados são idênticos ao teste da raiz e o que importa é o resultado da série dentro do expoente, podendo ignorar o elevado a n e o sinal de alternância. Dessa forma:

lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n = 1 ∞ = 0

Como o módulo do resultado deu menor que 1, logo a série é absolutamente convergente.

Resposta

Série absolutamente convergente.

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Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.17. ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π 3 n !
Use qualquer teste para determinar se uma série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n arctan ⁡ n n 2
Teste a série quanto a convergência ou divergência ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 3 k + 1 k k
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n 2
Determine se a série e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n . e 1 n n 3