Enunciado

Determine se a serie é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.

2. ∑ n = 0 ∞ - 1 n 5 n + 1

Passo 1

Bom, primeiro aplicamos o módulo na série:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 5 n + 1

E vemos se ela converge, quando aplicamos ele, o termo alternado ( - 1 ) vai sumir, sobrando só:

∑ n = 0 ∞ 1 5 n + 1

Que irá divergir, então a série não é absolutamente convergente.

Passo 2

Vamos usar então o teste da série alternada para vermos se ela é condicionalmente convergente, precisamos fazer a série ficar com essa cara:

∑ n = 0 ∞ - 1 n b n

E então mostramos que:

b n + 1 ≤ b n

Na nossa serie, b n é:

b n = 1 5 n + 1

E b n + 1 é:

b n + 1 = 1 5 ( n + 1 ) + 1 = 1 5 n + 6

Passo 3

Para mostrarmos que o termo seguinte é menor que o anterior, começamos da desigualdade mais simples:

0 < 5

Somamos 5 n + 1 dos dois lados:

5 n + 1 < 5 n + 6

E intervemos os dois lados (quando fazemos isso, precisamos inverter o sinal < ):

1 5 n + 1 > 1 5 n + 6

Assim, a série é condicionalmente convergente, já que mostramos que b n + 1 ≤ b n .

Resposta

C o n d i c i o n a l m e n t e   c o n v e r g e n t e

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