Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.

2. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n

Passo 1

Primeiro vamos aplicar o módulo na série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n

Ao fazermos isso, o termo alternado ( - 1 ) some:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n

Passo 2

A série que sobrou é muito parecida com a série p :

∑ n = 1 ∞ 1 n p

Sendo o p = 1 2

Mas sabemos que essa série diverge para p ≤ 1 , então ela não é absolutamente convergente.

Passo 3

Vamos então usar o teste da série alternada para vermos se ela é condicionalmente convergente, ou se diverge, primeiro vamos escrever a serie dessa maneira, para obtermos o b n :

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 b n

Precisamos mostrar que:

b n + 1 ≤ b n

Nossa sequencia b n vai ser:

b n = 1 n

E o próximo termo é:

b n + 1 = 1 n + 1

Vamos então mostrar que ele é menor que o anterior, para isso fazemos o seguinte, partimos da desigualdade mais simples possível:

0 < 1

Somamos n :

n < 1 + n

Aplicamos a raiz nos dois termos:

n < 1 + n

E invertemos a inequação (lembrando que quando fazemos isso, precisamos inverter o sinal < ):

1 n > 1 1 + n

Pronto, mostramos que o próximo termo é menor que o anterior, então a série é condicionalmente convergente.

Resposta

C o n d i c i o n a l m e n t e   c o n v e r g e n t e

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