Enunciado

Use a Desigualdade de Taylor para determinar o número de termos da série de Maclaurin de e x que devem ser usados para estimar e 0,1 com precisão de 0,00001 .

Passo 1

Para estimar o erro, como o enunciado pede vamos ter que usar o método da desigualdade de Taylor que diz que se f n + 1 ( x ) ≤ M , então

R n x ≤ M n + 1 ! x - a n + 1

Como a série de Maclaurin tem centro 0

R n x ≤ M n + 1 ! x n + 1

Como estamos procurando o erro em um ponto específico e não um intervalo, podemos usar M = f n + 1 ( x ) , então temos

R n x ≤ f n + 1 ( x )   n + 1 ! x n + 1

Passo 2

Outra coisa que podemos notar é que f n x = e x sempre, pois sempre que derivamos a exponencial, acabamos com ela novamente, ela não sai do nosso pé, mas para o nosso cálculo isso é bom

R n x ≤ e x   n + 1 ! x n + 1

Perceba que eu já tirei do modulo, porque a exponencial é sempre positiva, então o módulo não pe necessário.

Passo 3

Agora podemos substituir o nosso ponto x = 0,1 e vamos testando valores de n até achar um R n x ≤ 0,00001 .

R n 0,1 ≤ e 0,1   n + 1 ! 0,1 n + 1

Para n = 2

R 2 0,1 ≤ e 0,1   3 ! 0,1 3 = 0 , 00018 …

Para n = 3

R 3 0,1 ≤ e 0,1   4 ! 0,1 4 = 4,6 × 10 - 6

Pronto, achamos que R 3 0,1 < 0,00001 , então precisamos de no mínimo n = 3 para a precisão pedida.

Resposta

n = 3

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