Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (n - 1)/(n^2 sqrt(n))

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste desta seção do livro que é o teste da comparação.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.

Supondo que nós temos duas séries: sum a_n e sum b_n , podemos concluir algumas coisas:

  • Se a_n >= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n diverge, então sum a_n também diverge.
  • Se a_n <= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n converge, então sum a_n também converge.
  • Para outros casos não podemos concluir nada.

Passo 2

Para esta série, vamos tentar provar que ela converge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série converge, precisamos de uma série convergente que seus termos sejam maiores que o da nossa série.

Se chamarmos o termo geral da nossa série de a_n , podemos dizer que

a_n = (n - 1)/(n^2 sqrt(n))

E isso vale para n >= 1 .

Para compararmos, vamos usar

b_n = (n)/(n^2 sqrt(n))

Mas porque essa série?

Primeiramente, porque nós podemos comprovar a convergência desta série, basta manipularmos um pouco.

Simplificando os n de cima e de baixo temos que

b_n = (1)/(n sqrt(n))

E somando agora os expoentes dos termos do denominador temos que

b_n = (1)/(n^((3)/(2)))

E pela série-p, como (3)/(2) > 1 , a série

sum_(n = 1)^(oo) (n)/(n^2 sqrt(n))

É convergente.

Passo 3

Outro motivo pelo qual vamos usar b_n = (n)/(n^2 sqrt(n)) é que

a_n < b_n , AA n >= 1

Porque isso acontece? Vamos analisar isso melhor

(n - 1)/(n^2 sqrt(n)) < (n)/(n^2 sqrt(n))

Estamos comparando duas frações com um mesmo denominador, então só precisamos comparar o numerados e nós sabemos que n - 1 < n sempre, afinal se tirarmos 1 de um número, o próprio número vai ser sempre maior.

Então como a_n < b_n , AA n >= 1 e nós sabemos que sum_(n = 1)^(oo) b_n converge, pelo teste da comparação

sum_(n = 1)^(oo) (n - 1)/(n^2 sqrt(n))

É convergente.

Resposta

Converge.

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