Enunciado

Esboce a curva

(x^2 + y^2)^3 = 4 x^2 y^2

Passo 1

Essa equação não tem uma cara muito bonita e não parece algo familiar, que reconheceríamos simplesmente no plano.

A maneira mais simples de esboçar essa curva seria por mudança de variável, no caso vamos mudar para coordenadas polares.

Passo 2

Fazendo a mudança de variáveis usaremos

x = r * c o s theta

y = r * sen theta

E se usarmos as duas anteriores podemos chegar a conclusão de que

x^2 + y^2 = r^2

Substituindo tudo na nossa equação teremos

(x^2 + y^2)^3 = 4 x^2 y^2

(r^2)^3 = 4 ( r * cos theta )^2 ( r * sen theta )^2

Distribuindo os expoentes dentro dos parênteses

r^6 = 4 ( r^2 cos^2 theta ) ( r^2 sen^2 theta )

Fazendo a multiplicação

r^6 = 4 r^4 cos^2 theta sen^2 theta

Dividindo a equação por r^4

r^2 = 4 cos^2 theta sen^2 theta

Podemos agora usar a relação trigonométrica: sen 2 theta = 2 sen theta cos theta . Se elevarmos essa relação ao quadrado teremos que: sen^2 2 theta = 4 sen^2 theta cos^2 theta . Substituindo na equação:

r^2 = sen^2 2 theta

Aplicando a raiz quadrada em ambos os lados temos

r = sen 2 theta

Passo 3

Agora para esboçar o gráfico desta equação valor calcular alguns valores da função.

Para theta igual a 0 , (pi)/(2) , pi , (3 pi)/(2) e 2 pi :

r (0) = sen ( 2 * 0 ) = 0

r ((pi)/(2)) = sen (2 * (pi)/(2)) = sen (pi) = 0

r (pi) = sen ( 2 pi ) = 0

r ((3 pi)/(2)) = sen (2 * (3 pi)/(2)) = sen (3 pi) = 0

r (2 pi) = sen ( 4 pi ) = 0

E então analisando a função entre esses valores para determinarmos o comportamento da curva.

No primeiro quadrante o argumento do seno vai variar de 0 a pi , por conta do multiplicativo dentro do argumento. O valor do seno nesse intervalo varia de 0 a 1 e depois retorna ao 0 .

Para o segundo quadrante o argumento vai variar de pi até 2 pi e o valor do seno vai de 0 a - 1 e retorna ao 0 .

Para o terceiro quadrante o comportamento vai ser igual ao do primeiro, pois o argumento vai variar de 2 pi até 3 pi , e neste intervalo o seno tem valor igual ao do intervalo de 0 a pi . Pela mesma lógica no quarto quadrante o comportamento será igual ao do segundo.

Passo 4

Representando isso no plano temos:

Resposta

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Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = - s e n5 θ
Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = 3 cos ⁡ θ
Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = 2 cos ⁡ 4 θ
Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = 2s e n6 θ
Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de θ em coordenadas cartesianas. r = 1 + 5 s e n θ