Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 52
Esboce a curva
Passo 1
Essa equação não tem uma cara muito bonita e não parece algo familiar, que reconheceríamos simplesmente no plano.
A maneira mais simples de esboçar essa curva seria por mudança de variável, no caso vamos mudar para coordenadas polares.
Passo 2
Fazendo a mudança de variáveis usaremos
E se usarmos as duas anteriores podemos chegar a conclusão de que
Substituindo tudo na nossa equação teremos
Distribuindo os expoentes dentro dos parênteses
Fazendo a multiplicação
Dividindo a equação por
Podemos agora usar a relação trigonométrica: . Se elevarmos essa relação ao quadrado teremos que: . Substituindo na equação:
Aplicando a raiz quadrada em ambos os lados temos
Passo 3
Agora para esboçar o gráfico desta equação valor calcular alguns valores da função.
Para igual a , , , e :
E então analisando a função entre esses valores para determinarmos o comportamento da curva.
No primeiro quadrante o argumento do seno vai variar de a , por conta do multiplicativo dentro do argumento. O valor do seno nesse intervalo varia de a e depois retorna ao .
Para o segundo quadrante o argumento vai variar de até e o valor do seno vai de a e retorna ao .
Para o terceiro quadrante o comportamento vai ser igual ao do primeiro, pois o argumento vai variar de até , e neste intervalo o seno tem valor igual ao do intervalo de a . Pela mesma lógica no quarto quadrante o comportamento será igual ao do segundo.
Passo 4
Representando isso no plano temos:
Resposta
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