Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 2)^(oo) (sqrt(n))/(n - 1)

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questão! Precisamos dizer se essa série converge ou diverge, né?

Bom, pra fazer isso vamos usar o teste da comparação, beleza?

Vamos relembrar como ele funciona, vamos comparar duas séries, vamos chamar de: sum a_n e sum b_n , por enquanto, podemos concluir que:

Se a_n >= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n diverge, então sum a_n também diverge.

Se a_n <= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n converge, então sum a_n também converge.

E se for qualquer outro caso não podemos concluir nada, belezinha?

Passo 2

Bom, vamos tentar provar que nossa série diverge, então precisamos pensar em uma série para compararmos… Seguindo os critérios do teste da comparação, precisamos de uma série divergente que seja menor que a nossa série, ok?

Sendo o termo geral da nossa série:

a_n = (sqrt(n))/(n - 1)

Podemos usar como comparação o termo:

b_n = (1)/(n - 1)

Mas porque essa série? Bom, a gente precisa de uma que tenhamos certeza de que vai divergir, né? E essa aí nós podemos comprovar a divergência, pois ela é uma série com polinômio no denominador de grau igual a 1, então temos que a série:

sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n - 1) diverge!

Passo 3

Além disso, outro motivo pelo qual vamos usar b_n = (1)/(n - 1) é que

a_n > b_n , AA n >= 2

Vamos analisar melhor o porquê que isso acontece Olha só:

(sqrt(n))/(n - 1) > (1)/(n - 1)

Estamos comparando duas frações com um mesmo denominador, então só precisamos comparar o numerador e nós sabemos que sqrt(n) > 1 para todos os valores que onde n >= 2 .

Show de bola! Então como a_n > b_n , AA n >= 2 e nós já confirmamos que sum_(n = 2)^(oo) b_n diverge… Logo, pelo teste da comparação vamos ter que:

sum_(n = 2)^(oo) (sqrt(n))/(n - 1) diverge!

Uhul! Arrasamos!

Resposta

A série diverge.

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