Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (cos^2 n)/(n^2 + 1)

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste desta seção do livro que é o teste da comparação.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.

Supondo que nós temos duas séries: sum a_n e sum b_n , podemos concluir algumas coisas:

  • Se a_n >= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n diverge, então sum a_n também diverge.
  • Se a_n <= b_n , AA n e nós sabemos que sum b_n converge, então sum a_n também converge.
  • Para outros casos não podemos concluir nada.

Passo 2

Para esta série, vamos tentar provar que ela converge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série converge, precisamos de uma série convergente que seus termos sejam maiores que o da nossa série.

Se chamarmos o termo geral da nossa série de a_n , podemos dizer que

a_n = (cos^2 n)/(n^2 + 1)

E isso vale para n >= 1 .

Para compararmos, vamos usar

b_n = (1)/(n^2 + 1)

Mas porque essa série?

Primeiramente, porque nós podemos comprovar a convergência desta série, pela série-p, temos um denominador polinomial de grau maior que 1 , logo a série

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^2 + 1)

É convergente.

Passo 3

Outro motivo pelo qual vamos usar b_n = (1)/(n^2 + 1) é que

a_n < b_n , AA n >= 1

Porque isso acontece? Vamos analisar isso melhor

(cos^2 n)/(n^2 + 1) <= (1)/(n^2 + 1)

Estamos comparando duas frações com um mesmo denominador, então só precisamos comparar o numerador e nós sabemos que - 1 <= cos theta <= 1 , elevando ao quadrado 0 <= cos^2 theta <= 1 , então podemos afirmar que cos^2 n <= 1 .

Então como a_n <= b_n , AA n >= 1 e nós sabemos que sum_(n = 1)^(oo) b_n converge, pelo teste da comparação

sum_(n = 1)^(oo) (cos^2 n)/(n^2 + 1)

É convergente.

Resposta

Converge.

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