Suponha que a_n > 0 e lim n → ∞ ⁡ n ² a n = 0 . Prove que ∑ a n converge.

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

O enunciado nos diz que

a n > 0

lim n → ∞ ⁡ n ² a n = 0

Vamos fazer uma pequena adaptação:

a n n 2 = a n 1 n 2

Podemos dizer então que:

b n = 1 n 2

Então, se formos analisarmos a série

∑ b n = ∑ 1 n 2

Vamos ter aqui uma p-série, aonde p = 2 . Logo, ela converge.

Se substituirmos o limite, teremos:

lim n → ∞ ⁡ n ² a n = lim n → ∞ ⁡ a n 1 n 2 = lim n → ∞ ⁡ a n b n = 0

Pela Comparação no Limite, como já achamos que b n converge, logo a n também converge

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o

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