Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

∑ n = 1 ∞ e n 3 n - 1

Passo 1

Antes de tentarmos provar a convergência dessa série, vamos tentar transformá-la em uma série geométrica. Para isso basta substituir e n = e ⋅ e n - 1

∑ n = 1 ∞ e ⋅ e n - 1 3 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ e e 3 n - 1

Essa série se trata de uma série geométrica que é da forma

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

Portanto temos uma série geométrica com a = e e r = e 3 .

Passo 2

Para sabermos se as séries geométricas convergem, basta que analisemos o r .

Para que ela convirja r < 1 , neste caso r = e 3 e como e é menor que 3 , quando dividimos e 3 < 1 , portanto essa série converge.

Para saber para qual valor a série converge, basta usar a fórmula

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Jogando a = e e r = e 3

∑ n = 1 ∞ e n 3 n - 1 = e 1 - e 3 = e 3 - e 3 = 3 e 3 - e

Resposta

∑ n = 1 ∞ e n 3 n - 1 = 3 e 3 - e

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