Enunciado

Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.

∑ n = 2 ∞ 1 n ( n + 2 )

Passo 1

Para calcular a soma parcial vamos dizer que

s n = a 2 + a 3 + … + a n

Onde

a n = 1 n ( n + 2 )

A soma inicia no 2 porque a séria inicia também no 2 .

Então calcularemos os dez primeiros termos de s n e tentaremos prever a convergência da série pela analise do gráfico.

Para facilitar um pouco o processo, podemos dizer que

s n = ( a 2 + a 3 + … + a n - 1 ) + a n

O que está entre parênteses é nada mais, nada menos que o termo anterior da sequencia de somas parciais, então

s n = s n - 1 + a n

Passo 2

Vamos calcular as dez primeiras somas parciais

s 2 = a 2

s 2 = 1 2 ( 2 + 2 ) = 1 2 4 = 1 8

s 3 = s 2 + a 3

s 3 = 1 8 + 1 3 ( 3 + 2 ) = 1 8 + 1 3 ( 5 ) = 1 8 + 1 15

s 4 = s 3 + a 4

s 4 = 1 8 + 1 15 + 1 4 ( 4 + 2 ) = 1 8 + 1 15 + 1 24

s 5 = s 4 + a 5

s 5 = 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 5 ( 5 + 2 ) = 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 35

s 6 = s 5 + a 6

s 6 = 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 35 + 1 6 6 + 2 = 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 35 + 1 48

s 7 = s 6 + a 7

s 7 = 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 35 + 1 48 + 1 7 7 + 2 = 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 35 + 1 48 + 1 63

s 8 = s 7 + a 8

s 8 = 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 35 + 1 48 + 1 63 + 1 8 8 + 2 = 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 35 + 1 48 + 1 63 + 1 80

Já deu né? Com 7 termos de s n já vimos que desta forma não vamos achar uma padrão, mas vamos jogar no gráfico pra ver se parece que isso vai chegar a algum limite.

Passo 3

Montando o gráfico temos:

Onde os pontos azuis são os termos a n e em vermelho temos s n .

Podemos ver que os termos a n então se aproximando de um limite que é 0 , o que é necessário para a convergência da série. Já os termos de s n parecem se aproximar de um limite, mas com poucos termos assim não podemos dizer qual seria esse limite.

Para calcular esse limite vamos ter que achar um termo geral pra soma, para isso vamos manipular um pouco o termo geral da série

a n = 1 n ( n + 2 )

Separando esse termo em duas frações

a n = 1 n ( n + 2 ) = A n + B n + 2

E fazendo o MMC para calcularmos os valores de A e B :

a n = A n + 2 + B n n ( n + 2 )

Portanto temos a igualdade

A n + 2 + B n = 1

Distribuindo a multiplicação e em seguida colocndo n em evidencia

A n + 2 A + B n = 1

n A + B + 2 A = 1

Pela igualdade de polinômios temos o seguinte sistema

A + B = 0 2 A = 1

Com a segunda equação chegamos em

2 A = 1

A = 1 2

Substituindo na primeira

A + B = 0

B = - A

B = - 1 2

Voltando ao termo da série, temos que

a n = A n + B n + 2

a n = 1 2 n - 1 2 ( n + 2 )

Passo 4

Vamos agora tentar calcular alguns valores da soma?

s 2 = a 2

s 2 = 1 2 ( 2 ) - 1 2 2 + 2 = 1 4 - 1 8

s 3 = s 2 + a 3

s 3 = 1 4 - 1 8 + 1 2 ( 3 ) - 1 2 3 + 2 = 1 4 - 1 8 + 1 6 - 1 10

s 4 = s 3 + a 4

s 4 = 1 4 - 1 8 + 1 6 - 1 10 + 1 2 4 - 1 2 4 + 2 = 1 4 - 1 8 + 1 6 - 1 10 + 1 8 - 1 12

Aqui já começamos a cancelar, presta atenção que os 1 / 8 se cancelam, massa né?

s 5 = s 4 + a 5

s 5 = 1 4 - 1 8 + 1 6 - 1 10 + 1 8 - 1 12 + 1 2 5 - 1 2 5 + 2

= 1 4 - 1 8 + 1 6 - 1 10 + 1 8 - 1 12 + 1 10 - 1 14

Já cancelamos agora além do 1 / 8 , também o 1 / 10 , mas vamos continuar

s 6 = s 5 + a 6

s 6 = 1 4 - 1 8 + 1 6 - 1 10 + 1 8 - 1 12 + 1 10 - 1 14 + 1 2 6 - 1 2 6 + 2

= 1 4 - 1 8 + 1 6 - 1 10 + 1 8 - 1 12 + 1 10 - 1 14 + 1 12 - 1 16

Agora cancelamos também o 1 / 12 . Acho que já achamos o padrão né? De maneira geral ficamos com as primeiras frações dos dois primeiros termos e com as segundas frações dos 2 ultimos termos, ou seja

s n = 1 4 + 1 6 - 1 2 n - 1 + 2 - 1 2 ( n + 2 )

s n = 1 4 + 1 6 - 1 2 n + 1 - 1 2 ( n + 2 )

Passo 5

Agora que temos o termo geral, vamos aplicar o limite

s = lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ 1 4 + 1 6 - 1 2 n + 1 - 1 2 n + 2

s = 1 4 + 1 6

Fazendo o MMC

s = 3 + 2 12 = 5 12

Portanto

∑ n = 2 ∞ 1 n ( n + 2 ) = 5 12

Resposta

∑ n = 2 ∞ 1 n ( n + 2 ) = 5 12

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