Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

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∑ n = 1 ∞ 0.8 n - 1 - 0.3 n

Passo 1

Assim como numa integral onde a integral da soma é a soma das integrais, nós também podemos dizer que a somatória das somas é a soma das integrais. Poético mas o que foi dito é que podemos fazer isso aqui embaixo ó:

∑ n = 1 ∞ ( 0.8 ) n - 1 - ∑ n = 1 ∞ ( 0.3 ) n

Onde podemos ver que há a subtração de uma série convergente (de razão geométrica igual a 0.8) por outra série convergente (de razão geométrica igual a 0.3). Logo a série dada convergirá sim.

Passo 2

Fazendo a somatória das série:

∑ n = 1 ∞ 0.8 n - 1

Nós teremos que a razão q = 0.8 e o primeiro termos dessa série valerá:

a 1 = 0.8 1 - 1 = 0.8 0 = 1

Logo o resultado dessa série valerá:

S 1 = a 1 1 - q = 1 1 - 0.8 = 5

Passo 3

Agora indo para a outra série:

∑ n = 1 ∞ 0.3 n

Nós teremos que o primeiro termos dessa série valerá:

a 1 = 0.3 1 = 0.3

E como a razão geométrica dessa série é q = 0.3 , logo a somatória dessa série será igual a:

S 2 = a 1 1 - q = 0.3 1 - 0.3 = 3 7

Passo 4

Dessa forma a somatória da série toda pode ser dada por:

∑ n = 1 ∞ ( 0.8 ) n - 1 - ∑ n = 1 ∞ ( 0.3 ) n = S 1 - S 2 = 5 - 3 7 = 35 - 3 7 = 32 7

Resposta

Série convergente para o valor igual a 32 7 .

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