Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 28
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
28-
Passo 1
Assim como numa integral onde a integral da soma é a soma das integrais, nós também podemos dizer que a somatória das somas é a soma das integrais. Poético mas o que foi dito é que podemos fazer isso aqui embaixo ó:
Onde podemos ver que há a subtração de uma série convergente (de razão geométrica igual a 0.8) por outra série convergente (de razão geométrica igual a 0.3). Logo a série dada convergirá sim.
Passo 2
Fazendo a somatória das série:
Nós teremos que a razão e o primeiro termos dessa série valerá:
Logo o resultado dessa série valerá:
Passo 3
Agora indo para a outra série:
Nós teremos que o primeiro termos dessa série valerá:
E como a razão geométrica dessa série é , logo a somatória dessa série será igual a:
Passo 4
Dessa forma a somatória da série toda pode ser dada por:
Resposta
Série convergente para o valor igual a