Encontre a soma da série infinita

1 + 2/10 + 3/10^2 + 7/10^3 + 2/10^4 + 3/10^5 + 7/10^6 + 2/10^7 + 3/10^8 + 7/10^9 + …

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A série dada pode ser escrita da seguinte forma na forma de soma

1 + ∑ n = 0 ∞ 2 10 3 n + 1 + ∑ n = 0 ∞ 3 10 3 n + 2 + ∑ n = 0 ∞ 7 10 3 n + 3

Colocando alguns termos em evidência

1 + 2 10 ∑ n = 0 ∞ 1 10 3 n + 3 10 2 ∑ n = 0 ∞ 1 10 3 n + 7 10 3 ∑ n = 0 ∞ 1 10 3 n

Desenvolvendo os termos,

1 + 2 10 + 3 100 + 7 1000 ∑ n = 0 ∞ 1 10 3 n

Observe que a série vermelha é uma série geométrica com termo inicial a = 1 e razão comum r = 1 1000 . Portanto,

∑ n = 0 ∞ 1 10 3 n = a 1 - r = 1 1 - 1 1000 = 1000 999

Passo 2

Portanto, a soma da série é

1 + 2 10 + 3 100 + 7 1000 1000 999  

Colocando todo mundo com um mesmo denominador, obtemos que

1 + 200 1000 + 30 1000 + 7 1000 1000 999

Com isso,

1 + 237 1000 1000 999 = 1 + 237 999

Simplificando os termos

1 + 79 333 = 412 333

Resposta

412 333

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